Проценко Елена Анатольевна, доцент кафедры математики, ведущий научный сотрудник, кандидат физико-математических наук
347936, г. Таганрог, ул. Инициативная, 48
Elena A. , Associate Professor of the Department of Mathematics, Leading Researcher, Candidate of Physical and Mathematical Sciences
48, Initiative St., Taganrog, 347936
Проценко Софья Владимировна, доцент кафедры математики, научный сотрудник, кандидат физико-математических наук
347936, г. Таганрог, ул. Инициативная, 48
Sofia V. Protsenko, Associate Professor of the Department of Mathematics, Researcher, Candidate of Physical and Mathematical Sciences
48, Initiative St., Taganrog, 347936
Введение. Математическое моделирование течений является актуальной исследовательской темой в области гидродинамики и океанографии. Несмотря на непрекращающиеся исследования в области разработки точных и эффективных численных методов для решения уравнений Навье-Стокса, учитывающих вихревую вязкость, задачи точного предсказания и контроля турбулентности остаются нерешенными. Также актуальными остаются вопросы влияния нелинейных эффектов в моделях вихревой вязкости на точность прогнозов и их применимость к различным условиям течения. Целью исследования является изучение влияния линеаризованного и квадратичного донного трения и двух моделей турбулентности на численное решение стационарных и нестационарных периодических течений. Особый акцент сделан на сравнении численных результатов с аналитическими решениями в рамках использования различных моделей донного трения.
Материалы и методы. Вычислительные модели, применяемые в этом исследовании, основаны на упрощенной двумерной волновой модели и полных трехмерных уравнениях Навье-Стокса. Классическая модель движения мелкой воды и 2D-модель без учета динамического изменения геометрии поверхности водоема получены из системы уравнений для пространственно-неоднородной трехмерной математической модели волновой гидродинамики мелководного водоема. Аналитические решения были найдены путем линеаризации уравнений, что, очевидно, имеет свои ограничения. Проводится различие между нелинейностями, вызванными членами более высокого порядка в уравнениях движения (т. е. членами адвективного ускорения и трения), и геометрическими нелинейностями, связанными, например, с различной глубиной воды и шириной водоема, что будет важно при моделировании реального моря.
Результаты исследования. Представлены результаты моделирования стационарных и нестационарных периодических течений в схематизированном прямоугольном бассейне с использованием линеаризованного донного трения. Исследовано влияние линеаризации на численное решение в сравнении с аналитическими профилями, использующими модели, рассчитывающие донное трение в квадратичной формулировке. В сочетании с квадратичным трением о дно изучаются две модели турбулентности: постоянная вихревая вязкость и модель длины перемешивания Прандтля. Результаты, полученные в результате трехмерного моделирования, сравниваются с результатами двумерного моделирования и аналитическими решениями, усредненными по глубине.
Обсуждение и заключение. Предложены новые подходы к моделированию и исследованию течений с переменной вихревой вязкостью, включая анализ влияния линеаризации и использование различных моделей турбулентности. Для линеаризованной и квадратичной формулировок донного трения доказано, что численные результаты для случая стационарного течения демонстрируют большое сходство с аналитическими решениями, поскольку высота поверхности намного меньше глубины воды и адвекцией можно пренебречь. Численные результаты для нестационарного течения также показывают хорошее соответствие теории. В отличие от аналитических решений численное моделирование имеет незначительные отклонения в долгосрочной перспективе. Исследование течений, в рамках использования различных моделей турбулентности, позволит осуществить учет влияния нелинейных эффектов в моделях вихревой вязкости на точность прогнозов и их применимость к различным условиям течения. Полученные результаты позволяют лучше понять и описать физические процессы, происходящие в мелководных водоемах. Это открывает новые возможности применения математического моделирования для прогнозирования и анализа воздействия человеческой деятельности на морскую среду и для решения других задач в области океанологии и геофизики.
Introduction. Mathematical modelling of currents is an urgent research topic in the field of hydrodynamics and oceanography. Despite ongoing research in the field of developing accurate and efficient numerical methods for solving Navier-Stokes equations that take into account vortex viscosity, the problems of accurate prediction and control of turbulence remain unresolved. The influence of nonlinear effects in vortex viscosity models on the accuracy of forecasts and their applicability to various flow conditions also remains relevant. The aim of the study is to study the influence of linearized and quadratic bottom friction and two turbulence models on the numerical solution of stationary and non-stationary periodic flows. Special emphasis is placed on comparing numerical results with analytical solutions within the framework of using various models of bottom friction.
Materials and Methods. The computational models used in this study are based on a simplified two-dimensional wave model and full three-dimensional Navier-Stokes equations. The classical model of shallow water motion and the 2D model without taking into account dynamic changes in the geometry of the reservoir surface are derived from a system of equations for a spatially inhomogeneous three-dimensional mathematical model of wave hydrodynamics of a shallow reservoir. Analytical solutions were found by linearization of the equations, which obviously has its limitations. A distinction is made between two types of nonlinear effects – nonlinearities caused by higher-order terms in the equations of motion, i. e. terms of advective acceleration and friction, and nonlinear effects caused by geometric nonlinearities, this is due, for example, to different water depths and reservoir widths, which will be important when modelling a real sea.
Results. The results of modeling stationary and non-stationary periodic flows in a schematized rectangular basin using linearized bottom friction are presented. The influence of linearization on the numerical solution is investigated in comparison with analytical profiles using models calculating bottom friction in a quadratic formulation. In combination with quadratic bottom friction, two turbulence models are studied: the constant vortex viscosity and the Prandtl mixing length model. The results obtained as a result of three-dimensional modelling are compared with the results of two-dimensional modeling and analytical solutions averaged in depth.
Discussion and Conclusion. New approaches to modelling and studying flows with variable vortex viscosity are proposed, including analysis of the influence of linearization and the use of various turbulence models. For the linearized and quadratic formulations of bottom friction, it is proved that the numerical results for the case of stationary flow show great similarity with analytical solutions, since the surface height is much less than the water depth and advection can be neglected. The numerical results for the unsteady flow also show a good agreement with the theory. Unlike analytical solutions, numerical modelling has minor deviations in the long run. The study of flows, within the framework of using various turbulence models, will make it possible to take into account the influence of nonlinear effects in vortex viscosity models on the accuracy of forecasts and their applicability to various flow conditions. The results obtained make it possible to better understand and describe the physical processes occurring in shallow waters. This opens up new possibilities for applying mathematical modelling to predict and analyze the impact of human activities on the marine environment and to solve other problems in the field of oceanology and geophysics.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.