Бештокова Зарьяна Владимировна, младший научный сотрудник, отдел вычислительных методов
360000, г. Нальчик, ул. Шортанова, 89а
Zaryana V. Beshtokova, Junior Researcher, Department of Computational Methods
89a, Shortanova St., Nalchik, 360000
Введение. Изучается многомерное (по пространственным переменным) интегро-дифференциальное уравнение параболического типа с неоднородными граничными условиями первого рода. Построенная локально-одномерная разностная схема может быть использована при решении прикладных задач, приводящих к многомерным интегро-дифференциальным уравнениям параболического типа, например, при математическом моделировании облачных процессов, при рассмотрении проблемы активного воздействия на конвективные облака с целью предотвращения града и искусственного увеличения осадков, а также при описании функции распределения по массам капель за счет микрофизических процессов конденсации, коагуляции, дробления и замерзания капель в конвективных облаках.Материалы и методы. В данной работе для приближенного решения начально-краевой задачи построена локально-одномерная схема А.А. Самарского с порядком аппроксимации О(h2 +τ). Основной метод исследования ― метод энергетических неравенств.Результаты исследования. Получены априорные оценки в разностной трактовке, откуда следуют единственность, устойчивость, а также сходимость решения локально-одномерной разностной схемы к решению исходной дифференциальной задачи со скоростью, равной порядку аппроксимации разностной схемы.Обсуждение и заключения. Результаты исследования могут быть использованы для дальнейшей разработки теории краевых задач для параболических уравнений с переменными коэффициентами, а также могут найти применение в области теории разностных схем, в области вычислительной математики и численного моделирования.
Introduction. We investigate a multidimensional (in terms of spatial variables) parabolic-type integro-differential equation with nonhomogeneous first-order boundary conditions. The locally one-dimensional finite difference scheme developed herein can be applied to solve various applied problems leading to multidimensional parabolic-type integro-differential equations. Examples include mathematical modelling of cloud processes, addressing the issue of active intervention in convective clouds to prevent hail and artificially enhance precipitation, as well as describing the droplet mass distribution function due to microphysical processes such as condensation, coagulation, fragmentation, and freezing of droplets in convective clouds.Materials and Methods. In this study, an approximate solution to the initial-boundary value problem is constructed using the locally one-dimensional scheme of A.A. Samarsky with a specified order of approximation О(h2 +τ). The primary research method employed is the method of energy inequalities.Results. A priori estimates have been obtained in the discrete interpretation, from which uniqueness, stability, and convergence of the solution of the locally one-dimensional difference scheme to the solution of the original differential problem follow, with a convergence rate equal to the order of approximation of the difference scheme.Discussion and Conclusions. The research findings can be utilized for further development of boundary value problem theory for parabolic equations with variable coefficients. Additionally, they may find applications in the fields of difference scheme theory, computational mathematics, and numerical modelling.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.