Александр Васильевич Галабурдин, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики и информатики
344003, г. Ростов-на-Дону, пл. Гагарина, 1
Alexander V. Galaburdin, associate professor of the department Mathematics and informatics
1, Gagarin Sq., Rostovon-Don, 344003
Введение. Многие задачи в математике сводятся к решению дифференциальных уравнений в частных производных для областей сложной формы. Не всегда существующие аналитические и численные методы позволяют эффективно получить решение подобных задач. В последнее время достаточно успешно для решения дифференциальных уравнений в частных производных применяются нейронные сети. При этом обычно рассматриваются краевые задачи для областей, имеющих простую форму. В данной работе предпринимается попытка построить нейронную сеть, способную эффективно решать краевые задачи для областей сложной формы.Материалы и методы. Предлагается метод построения нейронной сети для решения задачи Дирихле для областей сложной формы. В качестве активационных функций принимаются производные от сингулярных решений уравнения Лапласа. Сингулярные точки этих решений распределены по замкнутым кривым, охватывающих границу области. Настройка весов сети сводится к минимизации среднеквадратической ошибки обучения.Результаты исследования. Представлены результаты решения задач Дирихле для различных областей сложной формы. Результаты представлены в виде таблиц, содержащих точное решение и решение, полученное при помощи нейронной сети. На рисунках представлен вид областей и расположение точек, в которых определялось решение.Обсуждение и заключения. Представленные результаты свидетельствуют о хорошем совпадении полученного решения с точным. Отмечается, что данный метод легко применим к различным краевым задачам. Указываются способы повышения эффективности подобных нейронных сетей.
Introduction. Many mathematical problems are reduced to solving partial differential equations (PDEs) in domains of complex shapes. Existing analytical and numerical methods do not always provide efficient solutions for such problems. Recently, neural networks have been successfully applied to solve PDEs, typically addressing boundary value problems for domains with simple shapes. This paper attempts to construct a neural network capable of effectively solving boundary value problems for domains of complex shapes.Materials and Methods. A method for constructing a neural network to solve the Dirichlet problem for regions of complex shape is proposed. Derivatives of singular solutions of the Laplace equation are accepted as activation functions. Singular points of these solutions are distributed along closed curves encompassing the boundary of the domain. The adjustment of the network weights is reduced to minimizing the root-mean-square error during training.Results. The results of solving Dirichlet problems for various complex-shaped domains are presented. The results are provided in tables, comparing the exact solution and the solution obtained using the neural network. Figures show the domain shapes and the locations of points where the solutions were determined.Discussion and Conclusion. The presented results indicate a good agreement between the obtained solution and the exact one. It is noted that this method can be easily applied to various boundary value problems. Methods for enhancing the efficiency of such neural networks are suggested.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.