Сухинов Александр Иванович, Член-корреспондент Российской академии наук, доктор физико- математических наук, профессор, заведующий кафедрой
344000, Ростов-на-Дону, пл. Гагарина, 1
Sukhinov Alexander Ivanovich, Doctor of Science in Physics and Maths, Corresponding Member of RAS
Gagarin square, 1, Rostov-on-Don
В статье рассмотрены схемы расщепления по геометрическим направлениям, аппроксимирующие начально-краевую задачу для p-мерного (p≥3 ) уравнения гиперболического типа цепочкой двумерных-одномерных задач. Рассматриваются два способа построения схем расщепления – с оператором, факторизованном на верхнем слое, алгебраически эквивалентные схеме переменных направлений и аддитивные схемы суммарной аппроксимации. Для первой схемы ограничения на форму области G при p=3 могут быть ослаблены по сравнению со схемами переменных направлений, представляющими собой цепочку трехточечных задач на верхнем временном слое – область G может быть связным объединением цилиндрических областей с образующими, параллельными оси OX3. Во втором случае для трехмерного уравнения гиперболического типа построена аддитивная схема, представляющая собой цепочку «двумерная задача – одномерная задача» и аппроксимирующая исходную задачу в суммарном смысле (на целых временных шагах). Доказаны устойчивость и сходимость построенных схем: со скоростью O(ǁhǁ2+τ2) – факторизованной и со скоростью O(ǁhǁ2+τ) – аддитивной, где ǁhǁ– норма шага пространственной сетки, τ – шаг по времени, при соответствующих ограничениях на гладкость функций, входящих в постановку начально-краевой задачи. Для численной реализации построенных схем – численного решения двумерных эллиптических задач - можно применять быстрые прямые методы, базирующиеся на Фурье-алгоритме, методах циклической редукции для трехточечных векторных уравнений, комбинациях данных методов и других методах. Предлагаемые двумерные схемы расщепления в ряде случаев оказываются более экономичными в смысле суммарных временных затрат, включающих время выполнение вычислений и обменов информацией между процессорами по сравнению с традиционными схемами расщепления, базирующимися на применении трехточечных разностных задач для многопроцессорных вычислительных систем, с различными структурами связей между процессорами — типа «линейка», «матрица», «куб», с универсальной коммутацией.
The article considers splitting schemes in geometric directions that approximate the initial-boundary value problem for p-dimensional (p≥3 ) hyperbolic equation by chain of two-dimensional-one-dimensional problems. Two ways of constructing splitting schemes are considered with an operator factorized on the upper layer, algebraically equivalent to the alternating direction scheme, and additive schemes of total approximation. For the first scheme, the restrictions on the shape of the region G при p=3 can be weakened in comparison with schemes of alternating directions, which are a chain of three-point problems on the upper time layer, the region G can be a connected union of cylindrical regions with generators parallel to the axis OX3. In the second case, for a three-dimensional equation of hyperbolic type, an additive scheme is constructed, which is a chain «two-dimensional problem – one-dimensional problem» and approximates the original problem in a summary sense (at integer time steps). The stability and convergence of the constructed schemes are proved: with the factorized rate O(ǁhǁ2+τ2), and with the additive rate O(ǁhǁ2+τ) , where ǁhǁ is the norm of the step of the spatial grid,, τ is the time step, under the appropriate restrictions on the smoothness of the functions included in the statement of the initial-boundary value problem. For the numerical implementation of the constructed schemes – the numerical solution of two-dimensional elliptic problems – one can use fast direct methods based on the Fourier algorithm, cyclic reduction methods for three-point vector equations, combinations of these methods, and other methods. The proposed two-dimensional splitting schemes in a number of cases turn out to be more economical in terms of total time expenditures, including the time for performing computations and exchanges of information between processors, compared to traditional splitting schemes based on the use of three-point difference problems for multiprocessor computing systems, with different structures of connections between processors type «ruler», «matrix», «cube», with universal switching.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.