Наталья Константиновна Волосова - аспирант
105005, г. Москва, ул. 2-я Бауманская, 5, стр. 1
Natalya K. Volosova - Post-graduate Student
2nd Baumanskaya St. 5‒1, Moscow, 105005
Константин Александрович Волосов - доктор физико-математических наук, профессор кафедры прикладной математики
127994, ГСП-4, г. Москва, ул. Образцова, 9, стр. 9
Konstantin A. Volosov - Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor of the Department of Applied Mathematics
Obraztsova St. 9‒9, Moscow, GSP-4, 127994
Александра Константиновна Волосова - кандидат физико-математических наук, начальник аналитического отдела ООО «Трамплин»
127994, ГСП-4, г. Москва, ул. Образцова, 9, стр. 9
Aleksandra K. Volosova - Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Chief Analytical Department “Tramplin” LLC
Obraztsova St. 9‒9, Moscow, GSP-4, 127994
Михаил Иванович Карлов - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики
141701, ГСП-4, г. Долгопрудный, Институтский переулок, 9
Mikhail I. Karlov - Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor of the Department of Mathematics
9, Institutsky Lane, GSP-4, Dolgoprudny, 141701
Дмитрий Феликсович Пастухов - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры технологий программирования
211440, г. Новополоцк, ул. Блохина, 29
Dmitriy F. Pastukhov - Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor
Blokhin St. 29, Novopolotsk, 211440
Юрий Феликсович Пастухов - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры технологий программирования
211440, г. Новополоцк, ул. Блохина, 29
Yuriy F. Pastukhov - Candidate of Physical and Mathematical Sciences,Associate Professor
Blokhin St. 29, Novopolotsk, 211440
Введение. Исследуется возможность увеличения точности численного решения краевой задачи модифицированным методом Бубнова-Галеркина с линейным обыкновенным дифференциальным уравнением, в котором коэффициенты и правая часть являются непрерывными функциями. Порядок дифференциального уравнения n должен быть меньше числа координатных функций m.
Материалы и методы. Для численного решения краевой задачи использован модифицированный метод Петрова-Галеркина с системой линейно независимых базисных функций степенного вида на отрезке [–1,1] с единичной нормой Чебышева для каждой функции системы. В систему линейных алгебраических уравнений включены только линейно независимые краевые условия исходной задачи.
Результаты исследования. Впервые построена интегральная квадратурная формула на равномерной сетке с двадцать вторым порядком погрешности для вычисления элементов матрицы и коэффициентов правой части системы линейных алгебраических уравнений с учетом скалярного произведения двух функций по новой квадратурной формуле. Доказана теорема существования и единственности решения краевой задачи с неразделенными краевыми условиями общего вида, если известны n линейно независимых частных решений однородного дифференциального уравнения порядка n.
Обсуждение и заключение. Точно решена гидродинамическая задача в вязком сильном пограничном слое с уравнением третьего порядка. Аналитическое решение сравнено с численным решением, равномерная норма разности решений не превышает 5·10‒15. Полученные обобщенным методом Бубнова-Галеркина формулы могут быть полезными для решения краевых задач с линейными обыкновенными дифференциальными уравнениями третьего и более высоких порядков.
Introduction. This study investigates the possibility of increasing the accuracy of numerically solving boundary value problems using the modified Bubnov-Galerkin method with a linear ordinary differential equation, where the coefficients and the right-hand side are continuous functions. The order of the differential equation n must be less than the number of coordinate functions m.
Materials and Methods. A modified Petrov-Galerkin method was used to numerically solve the boundary value problem. It employs a system of linearly independent power-type basis functions on the interval [−1,1], each normalized by the unit Chebyshev norm. The system of linear algebraic equations includes only the linearly independent boundary conditions of the original problem.
Results. For the first time, an integral quadrature formula with a 22nd order error was developed for a uniform grid. This formula is used to calculate the matrix elements and coefficients in the right-hand side of the system of linear algebraic equations, taking into account the scalar product of two functions based on the new quadrature formula. The study proves a theorem on the existence and uniqueness of a solution for boundary value problems with general non-separated conditions, provided that n linearly independent particular solutions of a homogeneous differential equation of order n are known.
Discussion and Conclusion. The hydrodynamic problem in a viscous strong boundary layer with a third-order equation was precisely solved. The analytical solution was compared with its numerical counterpart, and the uniform norm of their difference did not exceed 5·10‒15. The formulas derived using the generalized Bubnov-Galerkin method may be useful for solving boundary value problems with linear ordinary differential equations of the third and higher orders.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.