Наталья Константиновна Волосова, аспирант
105005, г. Москва, ул. 2-я Бауманская, 5, стр. 1)
Natalya K. Volosova, Post-graduate Student
2nd Baumanskaya St. 5‒1, Moscow, 105005
Константин Александрович Волосов, доктор физико-математических наук, профессор кафедры при- кладной математики
AuthorID: 128228
127994, ГСП-4, г. Москва, ул. Образцова, 9, стр. 9
Konstantin A. Volosov, Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor of the Department of Applied Mathematics
Obraztsova St. 9‒9, Moscow, GSP-4, 127994
Александра Константиновна Волосова, кандидат физико-математических наук, начальник аналитического отдела ООО «Трамплин»
AuthorID: 607500
127994, ГСП-4, г. Москва, ул. Образцова, 9, стр. 9
Aleksandra K. Volosova, Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Chief Analytical Department “Tramplin” LLC
Obraztsova St. 9‒9, Moscow, GSP-4, 127994
Михаил Иванович Карлов, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики
AuthorID: 14680
127994, ГСП-4, г. Москва, ул. Образцова, 9, стр. 9
Mikhail I. Karlov, Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor of the Department of Mathematics
9, Institutsky Lane, GSP-4, Dolgoprudny, 141701
Дмитрий Феликсович Пастухов, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры технологий про- граммирования
AuthorID: 405101
211440, г. Новополоцк, ул. Блохина, 29
Dmitriy F. Pastukhov, Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor
Blokhin St. 29, Novopolotsk, 211440
Юрий Феликсович Пастухов, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры технологий програм- мирования
AuthorID: 405109
211440, г. Новополоцк, ул. Блохина, 29
Yuriy F. Pastukhov, Candidate of Physical and Mathematical Sciences,Associate Professor
Blokhin St. 29, Novopolotsk, 211440
Введение. Исследуется возможность численного решения модифицированным методом Бубнова-Галеркина краевой задачи с нелинейным дифференциальным уравнением, непрерывными коэффициентами и правой частью. В постановке задачи частные производные коэффициентов уравнения являются непрерывными функциями по всем аргументам. Порядок нелинейного дифференциального уравнения n строго меньше числа координатных функций m. Материалы и методы. Для численного решения нелинейной краевой задачи использован модифицированный метод Петрова-Галеркина и идея единственности разложения гладкой функции по системе линейно независимых базисных функций степенного вида на отрезке [–1,1] с единичной нормой Чебышева для каждой функции системы. В систему линейных алгебраических уравнений включены линейно независимые краевые условия. При этом элементы матрицы и правая часть системы зависят от индекса простой итерации s. От индекса s зависит и вектор коэффициентов разложения решения по базисным функциям. Обратная матрица системы находилась библиотекой линейной алгебры Msimsl на языке Fortran.
Результаты исследования. Сформулированы достаточные условия существования и единственности решения краевой задачи с нелинейным дифференциальным уравнением методом простой итерации. При выполнении достаточных условий коэффициенты разложения абсолютно уменьшаются с ростом номера базисной функции.
Обсуждение и заключение. Точно решены три краевых задачи с нелинейным уравнением второго порядка и одна задача с уравнением третьего порядка. Аналитические решения сравнены с численными решениями, равномерная норма разности имеет порядок 10‒13, 10‒11, 10‒10, 10‒10 соответственно. Модифицированный метод Бубнова-Галеркина позволяет находить решение каждой ветви многозначной функции в краевых задачах с нелинейными дифференциальными уравнениями.
Introduction. This study investigates the possibility of numerically solving a boundary value problem with a nonlinear differential equation, continuous coefficients, and a right-hand side using the modified Bubnov-Galerkin method. In the problem formulation, the partial derivatives of the equationʼs coefficients are continuous functions of all arguments. The order of the nonlinear differential equation n is strictly less than the number of coordinate functions m.
Materials and Methods. To numerically solve the nonlinear boundary value problem, the modifi Petrov-Galerkin method and the uniqueness property of decomposing a smooth function into a system of linearly independent polynomial basis functions on the interval [−1,1] with a unit Chebyshev norm for each function in the system are used. The system of linear algebraic equations includes linearly independent boundary conditions. The matrix elements and the right-hand side of the system depend on the simple iteration index s. The coefficient vector of the solution decomposition into basis functions also depends on the index s. The inverse matrix of the system was computed using the Msimsl linear algebra library in Fortran.
Results. Sufficient conditions for the existence and uniqueness of the solution to the boundary value problem with a nonlinear differential equation using the simple iteration method have been formulated. When the sufficient conditions are met, the decomposition coefficients decrease absolutely as the basis function index increases.
Discussion and Conclusion. Three boundary value problems with a second-order nonlinear equation and one problem with a third-order equation were solved exactly. The analytical solutions were compared with numerical solutions, with the uniform norm of the difference having an order of 10‒13, 10‒11, 10‒10, 10‒10, respectively. The modified Bubnov-Galerkin method allows for solving each branch of a multivalued function in boundary value problems with nonlinear differential equations.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.