Валентина Владимировна Сидорякина, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры мате- матики и информатики Донского государственного технического университета; доцент кафедры математики и физики Таганрогского института имени А.П. Чехова (филиал) РГЭУ (РИНХ)
MathSciNet ID: 730104;ScopusID: 57194681211
344003, г. Ростов-на-Дону, пл. Гагарина; 347936, г. Таганрог, ул. Инициативная, 48
Введение. Рассматривается пространственно-двумерная модель транспорта наносов многофракционного состава, ориентированная на зоны мелководья. Для описания этого процесса может быть использована начальнокраевая задача для параболического уравнения с нелинейными коэффициентами. Ее исследование проводится с помощью линеаризации на временной сетке с шагом τ, при которой нелинейные коэффициенты рассчитываются «с запаздыванием» на предыдущем временном слое. Для линеаризованной задачи транспорта многофракционных наносов ранее были определены условия корректности, построена и исследована консервативная устойчивая разностная схема, численно реализованная для модельных и реальных задач (Азовское море и Таганрогский залив, Цимлянское водохранилище). Однако вопросы сходимости решений линеаризованной задачи к решению исходной нелинейной начально-краевой задачи транспорта многофракционных наносов пока оставались не рассмотренными. Результаты исследований, представленные в данной работе, восполняют этот пробел. Ранее автором совместно с А.И. Сухиновым удалось провести аналогичные исследования для случая, когда фракционный состав наносов не учитывается. Эти исследования легли в основу для получения нового результата.
Материалы и методы. Получение неравенств, гарантирующих сходимость решений цепочки линеаризованных задач к решению исходных нелинейных задач, проводится методом математической индукции с привлечением теории дифференциальных уравнений.
Результаты исследования. Определены условия сходимости решений линеаризованной задачи транспорта наносов многофракционного состава к решению нелинейной задачи в норме банахового пространства L1 со скоростью O(τ).
Обсуждение и заключение. Полученные результаты исследования могут быть использованы при прогнозировании нелинейных гидрофизических процессов, повышения их точности и надежности в силу наличия новых функциональных возможностей учета физически важных факторов.
Introduction. This paper examines a two-dimensional spatial model of multifractional sediment transport, specifically focusing on shallow water zones. This process can be described using an initial-boundary value problem for a parabolic equation with nonlinear coefficients. The study employs a temporal grid linearization method with a step size τ, where nonlinear coefficients are calculated with a “lag” at the previous time layer. Previously, the well-posedness conditions for the linearized sediment transport problem were established, and a conservative and stable finite-difference scheme was developed and analyzed, with numerical implementations for both model and real-world problems (the Sea of Azov, the Taganrog Bay, and the Tsimlyansk Reservoir). However, the convergence of solutions of the linearized problem to the solution of the original nonlinear initial-boundary value problem for multifractional sediment transport had not yet been explored. The research results presented in this paper fill this gap. Earlier, the author, together with A.I. Sukhinov, conducted similar studies in the case where sediment fraction composition was not considered. These studies formed the basis for obtaining new results.
Materials and Methods. The derivation of inequalities guaranteeing the convergence of the solutions of a sequence of linearized problems to the solution of the original nonlinear problem is carried out using the method of mathematical induction, with the application of differential equation theory.
Results. The conditions for the convergence of solutions of the linearized multifractional sediment transport problem tothe solution of the nonlinear problem in the Banach space L1 norm at a rate O(τ) of are determined.
Discussion and Conclusion. The obtained research results can be used for forecasting nonlinear hydrophysical processes, improving their accuracy and reliability due to the new functional capabilities that account for physically significant factors.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.