vmaitComputational Mathematics and Information TechnologiesComputational Mathematics and Information Technologies2587-8999Донской государственный технический университет10.23947/2587-8999-2025-9-2-34-43vmait-193Research ArticleMathematical Modelling (Математическое моделирование)Исследование влияния движения границ на колебательные и резонансные свойства механических систем переменной длиныStudy of the Influence of Boundary Motion on the Oscillatory and Resonance Properties of Mechanical Systems with Variable Lengthhttps://orcid.org/0000-0002-1785-2387СеменовА. Л.SemenovA. L.

Алексей Львович Семенов, академик РАН, академик РАО, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математической логики и теории алгоритмов механико-математического факультета

119991, ГСП-1, г. Москва, Ленинские горы

Aleksey L. Semenov, Academician of the Russian Academy of Sciences, Academician of the Russian Academy of Education, Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Head of the Department of Mathematical Logic and Theory of Algorithms, Faculty of Mechanics and Mathematics

119991, GSP-1, Moscow, Leninskie Gory

alsemno@ya.ruhttps://orcid.org/0000-0002-6108-803XЛитвиновВ. Л.LitvinovV. L.

Владислав Львович Литвинов, кандидат технических наук, заведующий кафедрой общетеоретических дисциплин (высшей математики)

443100, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244

Vladislav L. Litvinov, Candidate of Technical Sciences, Head of the Department of General Theoretical Disciplines (Higher Mathematics)

443100, Samara, Molodogvardeyskaya St., 244

vladlitvinov@rambler.ruhttps://orcid.org/0000-0002-9534-0213ШамолинМ. В.ShamolinM. V.

Максим Владимирович Шамолин, член-корреспондент РАН, доктор физико-математических наук, профессор, ведущий научный сотрудник лаборатории общей механики НИИ механики

119991, ГСП-1, г. Москва, Ленинские горы

Maksim V. Shamolin, Corresponding Member of RAS, Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Leading Researcher at the Laboratory of General Mechanics, Research Institute of Mechanics

119991, GSP-1, Moscow, Leninskie Gory

shamolin@rambler.ruМосковский государственный университет им. М.В. ЛомоносоваРоссияLomonosov Moscow State UniversityRussian FederationСамарский государственный технический университетРоссияSamara State Technical UniversityRussian Federation202516072025923443Copyright © Семенов А.Л., Литвинов В.Л., Шамолин М.В., 20252025Семенов А.Л., Литвинов В.Л., Шамолин М.В.Semenov A.L., Litvinov V.L., Shamolin M.V.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.cmit-journal.ru/jour/article/view/193

Введение. Широкое распространение в технике объектов с движущимися границами обусловливает необходимость развития методов математического моделирования и создания алгоритмического программного обеспечения для соответствующего анализа. Настоящая работа представляет собой систематизированный обзор материалов, в которых исследуются колебательные и резонансные свойства механических систем с движущимися границами, таких как канаты подъемных устройств, гибкие передаточные механизмы, струны, стержни, балки переменной длины и т. д.Материалы и методы. Сформулирована постановка и разработаны численные методы решения нелинейных задач, описывающих волновые процессы и резонансные свойства объектов с движущимися границами.Результаты исследования. Проведен анализ отражения волн от движущихся границ, включая изменение их энергии и частоты. Показано, что энергия системы возрастает при движении границы навстречу волнам и убывает при совпадении направлений. Получены критерии, определяющие условия, при которых необходимо учитывать движение границ для корректного расчета амплитуд колебаний. Численные результаты демонстрируют влияние скорости движения границ и демпфирования на динамику системы.Обсуждение и заключение. Результаты работы имеют практическое значение для проектирования и эксплуатации механических систем с переменной геометрией. Приведенные результаты позволяют на стадии проектирования предотвратить возможность возникновения колебаний большой амплитуды в механических объектах с движущимися границами. Данные задачи мало изучены и требуют дальнейшего исследования

Introduction. The widespread use of technical systems with moving boundaries necessitates the development of mathematical modelling methods and algorithmic software for their analysis. This paper presents a systematic review of studies examining the oscillatory and resonance properties of mechanical systems with moving boundaries, such as hoisting cables, flexible transmission mechanisms, strings, rods, beams with variable length, and others.Materials and Methods. A problem statement is formulated, and numerical methods are developed for solving nonlinear problems that describe wave processes and the resonance properties of systems with moving boundaries.Results. An analysis is conducted on wave reflection from moving boundaries, including changes in their energy and frequency. It is shown that the energy of the system increases when the boundary moves toward the waves and decreases when moving in the same direction as the waves. Criteria are obtained to determine the conditions under which the boundary motion must be considered for accurate calculation of oscillation amplitudes. Numerical results demonstrate the influence of boundary speed and damping on the system dynamics.Discussion and Conclusion. The findings have practical significance for the design and operation of mechanical systems with variable geometry. The results make it possible to prevent large-amplitude oscillations in mechanical objects with moving boundaries at the design stage. These problems have not been sufficiently studied and require further research

резонансные свойстваколебания систем с движущимися границамиволновые процессыдемпфированиеамплитуда колебанийresonance propertiesvibrations of systems with moving boundarieswave processesdampingvibration amplitudeReferencesКолосов Л.B., Жигула Т.И. Продольно-поперечные колебания струны каната подъемной установки. Известия вузов. Горный журнал. 1981;3:83–86.Kolosov L.V., Zhygula T.I. Longitudinal and transverse vibrations of the rope string of the lifting installation. Minerals and Mining Engineering. 1981;3:83–86. (In Russ.)Zhu W.D., Chen Y. Theoretical and experimental investigation of elevator cable dynamics and control. J. Vibr. Acoust. 2006;1:66–78.Zhu W.D., Chen Y. Theoretical and experimental investigation of elevator cable dynamics and control. J. Vibr. Acoust. 2006;1:66–78.Shi Y., Wu L., Wang Y. Nonlinear analysis of natural frequencies of a cable system. J. Vibr. Eng. 2006;2:173–178.Shi Y., Wu L., Wang Y. Nonlinear analysis of natural frequencies of a cable system. J. Vibr. Eng. 2006;2:173–178.Горошко О.А., Савин Г.Н. Введение в механику деформируемых одномерных тел переменной длины. Киев: Наукова думка; 1971. 290 с.Goroshko O.A., Savin G.N. Introduction to the mechanics of deformable one-dimensional bodies of variable length. Kiev, Nauk. dumka; 1971. 290 p. (In Russ.)Анисимов В.Н., Литвинов В.Л. Поперечные колебания каната, движущегося в продольном направлении. Известия Самарского научного центра Российской академии наук. 2017;19(4):161–165.Anisimov V.N., Litvinov V.L. Transverse vibrations of a rope moving longitudinally. Izvestia of Samara Scientific Center of the Russian Academy of Sciences. 2017;19(4):161–165. (In Russ.)Савин Г.Н., Горошко О.А. Динамика нити переменной длины. Киев: Наукова думка; 1962. 332 с.Savin G.N., Goroshko O.A. The dynamics of the thread of variable length. Kiev, Nauk. dumka; 1962. 332 p. (In Russ.)Liu Z., Chen G. Analysis of plane nonlinear free vibrations of a load-bearing rope taking into account the influence of bending stiffness. J. Vibr. Eng. 2007;1:57–60.Liu Z., Chen G. Analysis of plane nonlinear free vibrations of a load-bearing rope taking into account the influence of bending stiffness. J. Vibr. Eng. 2007;1:57–60.Palm J., Paredes G.M., Eskilsson C., Pinto F. Simulation of mooring cable dynamics using a discontinuous Galerkin method. In International Conference on Computational Methods in Marine Engineering, 2013.Palm J., Paredes G.M., Eskilsson C., Pinto F. Simulation of mooring cable dynamics using a discontinuous Galerkin method. In International Conference on Computational Methods in Marine Engineering, 2013.Литвинов В.Л. Исследование свободных колебаний механических объектов с движущимися границами при помощи асимптотического метода. Журнал Средневолжского математического общества. 2014;16(1):83–88.Litvinov V.L. Investigation of free oscillations of mechanical objects with moving boundaries using the asymptotic method. Middle Volga Mathematical Society Journal. 2014;16(1):83–88. (In Russ.)Анисимов В.Н., Литвинов В.Л. Математическое моделирование и исследование колебаний одномерных механических систем с движущимися границами. Самара: Самарский государственный технический университет; 2017. 149 с.Anisimov V.N., Litvinov V.L. Mathematical modeling and investigation of vibrations of one-dimensional mechanical systems with moving boundaries. Samara, Samar. gos. tekhn. univ., 2017; 149 p. (In Russ.)Уварова Л.А., Федянин В.К. Математическая модель теплопереноса в существенно нелинейных сопряженных средах. Математическое моделирование. 1990;2(6):40–54.Uvarova L.A., Fedyanin V.K. Mathematical model of heat transfer in substantially nonlinear coupled media. Matem. modelirovanie. 1990;2(6):40–54. (In Russ.)Кудинов В.А., Кудинов И.В. Методы решения параболических и гиперболических уравнений теплопроводности. Москва: Книжный дом «Либроком»; 2012. 280 с.Kudinov V.A., Kudinov I.V. Methods for solving parabolic and hyperbolic heat conduction equations. Moscow, Knizhniy dom “Librokom”, 2012; 280 p. (In Russ.)Сухинов А.И., Чистяков А.Е., Никитина А.В., Атаян А.М., Литвинов В.Н. Метод решения сеточных уравнений для задач гидродинамики в плоских областях. Математическое моделирование. 2023;35(3):35–58. https://doi.org/10.20948/mm-2023-03-03Sikhinov A.I., Chistyakov A.E., Nikitina A.V., Atayan A.M., Litvinov V.N. A Method for Solving Grid Equations for Hydrodynamic Problems in Flat Areas. Mathematical Models and Computer Simulations. 2023;15(5):35–58. https://doi.org/10.20948/mm-2023-03-03Sukhinov A., Sidoryakina V. Two-dimensional-one-dimensional alternating direction schemes for coastal systems convection-diffusion problems. Mathematics. 2021;9(24):3267. https://doi.org/10.3390/math9243267Sukhinov A., Sidoryakina V. Two-dimensional-one-dimensional alternating direction schemes for coastal systems convection-diffusion problems. Mathematics. 2021;9(24):3267. https://doi.org/10.3390/math9243267Атаян А.М., Никитина А.В., Сухинов А.И., Чистяков А.Е. Математическое моделирование опасных явлений природного характера в мелководном водоеме. Журнал вычислительной математики и математической физики. 2022;62(2):269–286. https://doi.org/10.31857/S0044466921120048Atayan A.M., Nikitina A.V., Sukhinov A.I., Chistyakov A.E. Mathematical Modeling of Hazardous Natural Phenomena in a Shallow Basin. Computational Mathematics and Mathematical Physics. 2022;61(2):269–286. https://doi.org/10.1134/S0965542521120034Весницкий А.И. Волны в системах с движущимися границами и нагрузками. Москва: Физматлит; 2001. 320 с.Vesnitskii A.I. Waves in systems with moving boundaries and loads. Moscow, Fizmatlit, 2001; 320 p. (In Russ.)Анисимов В.Н., Литвинов В.Л., Корпен И.В. Об одном методе получения аналитического решения волнового уравнения, описывающего колебания систем с движущимися границами. Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки». 2012;3(28):145–151.Anisimov V.N., Litvinov V.L., Korpen I.V. A method for obtaining an analytical solution to the wave equation describing the oscillations of systems with moving boundaries. Journal of Samara State Technical University, Ser. Physical and Mathematical Sciences. 2012;3(28):145–151. (In Russ.)Весницкий А.И. Обратная задача для одномерного резонатора, изменяющего во времени свои размеры. Известия вузов. Радиофизика. 1971;10:1538–1542.Vesnitskii A.I. The inverse problem is for a one-dimensional resonator that changes its size over time. Izvestiya vuzov. Radiophysics. 1971;10:1538–1542. (In Russ.)Барсуков К.А., Григорян Г.А. К теории волновода с подвижными границами. Известия вузов. Радиофизика. 1976;2:280–285.Barsukov K.A., Grigorian G.A. Towards the theory of a waveguide with movable boundaries. Izvestiya vuzov. Radiophysics. 1976;2:280–285. (In Russ.)Wang L., Zhao Y. Multiple internal resonances and non-planar dynamics of shallow suspended cables to the harmonic excitations. Journal of Sound and Vibration. 2009;1–2:1–14.Wang L., Zhao Y. Multiple internal resonances and non-planar dynamics of shallow suspended cables to the harmonic excitations. Journal of Sound and Vibration. 2009;1–2:1–14.Самарин Ю.П. Об одной нелинейной задаче для волнового уравнения в одномерном пространстве. Прикладная математика и механика. 1964;26(3):77–80.Samarin Yu.P. On a nonlinear problem for the wave equation in one-dimensional space. Journal of Applied Mathematics and Mechanics. 1964;26(3):77–80. (In Russ.)Анисимов В.Н., Корпен И.В., Литвинов В.Л. Применение метода Канторовича-Галеркина для решения краевых задач с условиями на движущихся границах. Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. 2018;2:70–77.Anisimov V.N., Korpen I.V., Litvinov V.L. Application of the Kantorovich-Galerkin Method for Solving Boundary Value Problems with Conditions on Moving Borders. Mechanics of Solids. 2018;53(2):177–183.Литвинов В.Л., Литвинова К.В. Приближенный метод решения краевых задач с подвижными границами путем сведения к интегро-дифференциальным уравнениям. Журнал вычислительной математики и математической физики. 2022;62(6):977–986.Litvinov V.L., Litvinova K.V. An Approximate Method for Solving Boundary Value Problems with Moving Boundaries by Reduction to Integro-Differential Equations. Computational Mathematics and Mathematical Physics. 2022;62(6):945–954.Литвинов В.Л., Анисимов В.Н. Исследование закономерностей отражения волн от движущихся границ. В: Труды шестой Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи». Самара: издательство СамГТУ; 2009. С. 39–43.Litvinov V.L., Anisimov V.N. Investigation of patterns of reflection of waves from moving boundaries. Proceedings of the Sixth All-Russian Scientific Conference (June 1‒4, 2009). Math. modeling and boundary value problems. Samara, SamGTU, 2009; 39–43. (In Russ.)Литвинов В.Л. Исследование взаимодействия продольных волн с движущейся границей. В: Сборник статей III Всероссийской конференции-семинара «Научно-техническое творчество: проблемы и перспективы». Самара: издательство СамГТУ; 2008. С. 31–36.Litvinov V.L. Investigation of the interaction of longitudinal waves with a moving boundary. Scientific and technical creativity: problems and prospects. Collection of articles of the III All-Russian conference-seminar. Samara, 2008; 31–36. (In Russ.)Литвинов В.Л. Учет влияния демпфирующих сил на резонансные свойства струны с движущейся границей. В: Сборник статей V Юбилейной Всероссийской конференции-семинара «Научно-техническое творчество: проблемы и перспективы». Самара: издательство СамГТУ; 2010. С. 79–80.Литвинов В.Л. Учет влияния демпфирующих сил на резонансные свойства струны с движущейся границей. В: Сборник статей V Юбилейной Всероссийской конференции-семинара «Научно-техническое творчество: проблемы и перспективы». Самара: издательство СамГТУ; 2010. С. 79–80.Литвинов В.Л. Автоматизированный программный комплекс для исследования колебаний и резонансных явлений в механических системах с движущимися границами «TB-Analysis-7». Свидетельство о гос. регистрации программы для ЭВМ, № 2025613649. 2025. 17 с.Litvinov V.L. Certificate of state registration of a computer program. Automated software package for the study of vibrations and resonant phenomena in mechanical systems with moving boundaries “TB-Analysis-7” No. 2025613649, published on Feb. 13, 2025 (In Russ.)Литвинов В.Л. Вариационная постановка задачи о колебаниях балки с подвижной подпружиненной опорой. Теоретическая и математическая физика. 2023;215(2):709–715. https://doi.org/10.1134/S0040577923050094Litvinov V.L. Variational formulation of the problem on vibrations of a beam with a moving spring-loaded support. Theoretical and Mathematical Physics. 2023; 215(2):709–715. https://doi.org/10.1134/S0040577923050094Литвинов В.Л., Литвинова К.В. Об одном обратном методе решения задач о колебаниях механических систем с движущимися границами. Вестник Московского Университета. Серия 1: Математика. Механика. 2024;3:53–59. https://doi.org/10.3103/S0027133024700122Litvinov V.L., Litvinova K.V. An Inverse Method for Solving Problems about Oscillations of Mechanical Systems with Moving Boundaries. Moscow University Mechanics Bulletin. 2024;3:53–59. https://doi.org/10.3103/S0027133024700122Sandilo S.H., Horssen W.T. van. On variable length induced vibrations of a vertical string. Journal of Sound and Vibration. 2014;333:2432–2449.Sandilo S.H., Horssen W.T. van. On variable length induced vibrations of a vertical string. Journal of Sound and Vibration. 2014;333:2432–2449.Zhang W., Tang Y. Global dynamics of the cable under combined parametrical and external excitations. International Journal of Non-Linear Mechanics. 2002;37:505–526.Zhang W., Tang Y. Global dynamics of the cable under combined parametrical and external excitations. International Journal of Non-Linear Mechanics. 2002;37:505–526.Faravelli L., Fuggini C., Ubertini F. Toward a hybrid control solution for cable dynamics: Theoretical prediction and experimental validation. Struct. Control Health Monit. 2010;17:386–403.Faravelli L., Fuggini C., Ubertini F. Toward a hybrid control solution for cable dynamics: Theoretical prediction and experimental validation. Struct. Control Health Monit. 2010;17:386–403.Лежнева А.А. Свободные изгибные колебания балки переменной длины. Ученые записки. 1966;156:143–150.Lezhneva A.A. Free bending vibrations of a beam of variable length. Scientific notes. Perm, Perm. Univ., 1966; 156:143–150. (In Russ.)Selivanova N.Yu., Shamolin M.V. Local solvability of a one-phase problem with free boundary. Journal of Mathematical Sciences. 2013;189(2):274–283.Selivanova N.Yu., Shamolin M.V. Local solvability of a one-phase problem with free boundary. Journal of Mathematical Sciences. 2013;189(2):274–283.Selivanova N.Yu., Shamolin M.V. Studying the interphase zone in a certain singular-limit problem. Journal of Mathematical Sciences. 2013;189(2):284–293.Selivanova N.Yu., Shamolin M.V. Studying the interphase zone in a certain singular-limit problem. Journal of Mathematical Sciences. 2013;189(2):284–293.Selivanova N.Yu., Shamolin M.V. Local solvability of the Capillary problem. Journal of Mathematical Sciences. 2013;189(2):294–300.Selivanova N.Yu., Shamolin M.V. Local solvability of the Capillary problem. Journal of Mathematical Sciences. 2013;189(2):294–300.Selivanova N.Yu., Shamolin M.V. Quasi-stationary Stefan problem with values on the front depending on its geometry. Journal of Mathematical Sciences. 2013;189(2):301–310Selivanova N.Yu., Shamolin M.V. Quasi-stationary Stefan problem with values on the front depending on its geometry. Journal of Mathematical Sciences. 2013;189(2):301–310

The authors declare that there are no conflicts of interest present.