Александр Иванович Сухинов, член-корреспондент РАН, доктор физико-математических наук, профессор, директор НИИ Математического моделирования и прогнозирования сложных систем
344003, г. Ростов-на-Дону, пл. Гагарина, 1
Alexander I. Sukhinov, Corresponding Member of the Russian Academy of Sciences, Doctor of Physical andMathematical Sciences, Professor, Director of the Research Institute of Mathematical Modeling and Forecasting of Complex Systems
1, Gagarin Sq., Rostov-on-Don, 344003
Валентина Владимировна Сидорякина, кандидат физико-математических наук, доцент, кафедры математики и информатики
344003, г. Ростов-на-Дону, пл. Гагарина, 1
Valentina V. Sidoryakina, Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Department of Mathematics and Informatics
1, Gagarin Sq., Rostov-on-Don, 344003
Введение. Рассматривается разностная схема, аппроксимирующая краевую задачу для уравнения параболического типа в трехмерной постановке с условиями на границе I–III рода. Данная статья является дополнением к предыдущим работам авторов, посвященным численному решению одной из актуальных задач гидрофизики зон морского мелководья — задаче переноса, осаждения (транспорта) и трансформации взвешенного вещества. Аппроксимация указанного класса задач внутри области приводит к схемам, сходящимся со скоростью O(τ + h2), где h2 = h2x + h2y + h2z, hx, hy, hz и τ – шаги разностной сетки по пространственным координатам x, y, z и времени соответственно. При этом требует аккуратного рассмотрения случай граничных условий, поскольку при неудачной их аппроксимации может понизиться порядок аппроксимации разностной схемы в целом. Предложенные авторами методы аппроксимации граничных условий обеспечивают сходимость разностной схемы со скоростью O(τ + h2).
Материалы и методы. В своих исследованиях авторами сделан акцент на аппроксимации граничных условий третьего рода (аппроксимация граничных условий второго рода рассматривается как их частный случай). Ориентиром служит аппроксимация указанных граничных условий по формуле центральных разностей с последующим дифференцированием обеих частей уравнений диффузии-конвекции и исключением из полученных выражений функций решения в фиктивных узлах расширенной сетки.
Результаты исследования. Построены аппроксимации граничных условий II–III рода для краевой задачи, описывающей транспорт частиц взвешенного вещества, обеспечивающие сходимость разностной схемы со скоростью O(τ + h2).
Обсуждение. Работа может быть полезна в задачах диффузии-конвекции, где необходимо добиться численного решения с приемлемой точностью.
Заключение. Дальнейшие исследования авторов могут быть направлены на исследование построенных разностных схем с учетом физически мотивированных ограничений на шаг временной сетки τ и сеточное число Пекле.
Introduction. A finite-difference scheme approximating a boundary value problem for a parabolic-type equation in a three-dimensional setting with boundary conditions of the first-third types is considered. This paper is a continuation of the authors’ previous works devoted to the numerical solution of one of the pressing problems of hydrophysics in shallow marine zones – the problem of transport, deposition, and transformation of suspended matter. The approximation of this lass of problems inside the domain leads to schemes converging at a rate of O(τ + h2), where h2 = h2x + h2y + h2z, hx, hy, hz and τ are the steps of the difference grid along the spatial coordinates x, y, z and time, respectively. However, the case of boundary conditions requires careful treatment, since an inaccurate approximation may reduce the overall order of accuracy of the finite-difference scheme. The methods proposed by the authors for approximating boundary conditions ensure the convergence of the finite-difference scheme at the rate of O(τ + h2).
Materials and Methods. The authors focused on approximating third-type boundary conditions (with second-type conditions considered as a particular case). The approach is based on the central difference approximation of boundary conditions on an extended grid and the elimination of suspended matter concentration values in ghost nodes (cells).
Results. Approximations of the second- and third-type boundary conditions were constructed for a boundary value problem describing suspended matter transport. These approximations guarantee convergence of the finite-difference scheme at the rate of O(τ + h2).
Discussion. The study may be useful in convection–diffusion problems where achieving numerical solutions with acceptable accuracy is required.
Conclusion. Future research may focus on the analysis of the constructed finite-difference schemes under physically motivated constraints on the time step τ and the grid Peclet number.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.