Наталья Константиновна Волосова, аспирант
105005, г. Москва, ул. 2-я Бауманская, 5, стр. 1
Natalya K. Volosova, Post-graduate Student
2nd Baumanskaya St. 5‒1, Moscow, 105005
Константин Александрович Волосов, доктор физико-математических наук, профессор кафедры прикладной математики
127994, ГСП-4, г. Москва, ул. Образцова, 9, стр. 9
Konstantin A. Volosov, Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor of the Department of Applied Mathematics
Obraztsova St. 9‒9, Moscow, GSP-4, 127994
Александра Константиновна Волосова, кандидат физико-математических наук, начальник аналитического отдела ООО «Трамплин»
127994, ГСП-4, г. Москва, ул. Образцова, 9, стр. 9
Aleksandra K. Volosova, Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Chief Analytical Department «Tramplin» LLC
Obraztsova St. 9‒9, Moscow, GSP-4, 127994
Михаил Иванович Карлов, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики
141701, ГСП-4, г. Долгопрудный, Институтский переулок, 9
Mikhail I. Karlov, Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor of the Department of Mathematics
9, Institutsky Lane, GSP-4, Dolgoprudny, 141701
Дмитрий Феликсович Пастухов, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры технологий программирования
211440, г. Новополоцк, ул. Блохина, 29
Dmitriy F. Pastukhov, Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor
Blokhin St. 29, Novopolotsk, 211440
Юрий Феликсович Пастухов, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры технологий программирования
211440, г. Новополоцк, ул. Блохина, 29
Yuriy F. Pastukhov, Candidate of Physical and Mathematical Sciences,Associate Professor
Blokhin St. 29, Novopolotsk, 211440
Введение. Численно решается двумерная гидродинамическая задача в переменных «функция тока – вихрь» в открытой прямоугольной каверне, моделирующей течение крови в аневризме кровеносного сосуда. Предложены два алгоритма решения задачи для чисел Рейнольдса Re < 1 и для чисел Re ≥ 1.
Материалы и методы. Для ускорения численного решения задачи с явной разностной схемой уравнения динамики вихря использовался метод торможения начальных условий, метод n-кратного расщепления явной разностной схемы (n = 100, 200) и наличие плоскости симметрии прямоугольной области каверны – аневризмы. В методе расщепления используется максимальный шаг времени, пропорциональный квадрату координатного шага без нарушения спектральной устойчивости явной схемы в уравнении вихря. На половине прямоугольной аневризмы рассматривались симметричные решения и применялась равномерная сетка 100 × 50 с равным шагом h1 = h2 = 0,01. Обратная матрица для решения уравнения Пуассона в переменных «функция тока – вихрь» за конечное число элементарных операций вычислялась библиотекой Msimsl.
Результаты исследования. Численное решение задачи показало, что число и расположение областей циркуляции крови в аневризме при небольших числах Рейнольдса зависят от параметра отношения диаметра сосуда к диаметру аневризмы. Именно при небольшом значении этого параметра аневризму занимает один большой вихрь и сужает просвет сосуда в случае образования тромба внутри аневризмы. Сужение диаметра трубки тока крови внутри аневризмы достигает 34 %. Обнаружено, что формирование гидродинамической структуры в аневризме происходит за время, малое (0,002 %) по сравнению с периодом между пульсационными волнами (1с). Впервые предложено краевое условие с четвертым порядком погрешности для связи скорости, вихря и функции тока.
Обсуждение. Аппроксимация уравнений в системах (4) и (22) имеет шестой порядок погрешности во внутренних и четвертый в граничных узлах. Задача решена также для движения крови в артериях при больших числах Рейнольдса (Re = 1500). Ее решение показывает, что в плоскости симметрии аневризмы образуется цепочка связанных вихрей с чередованием знака функции вихря и сносимых кровью вдоль кровеносного сосуда.
Заключение. Сформулированные в работе начально-краевые задачи (4), (22) позволят качественно моделировать движение крови в аневризмах капилляров, артериол и артерий кровеносных сосудов при малых и больших скоростях, а также движение крови в элементах медицинского оборудования.
Introduction. A two-dimensional hydrodynamic problem in the «stream function–vorticity» variables is numerically solved in an open rectangular cavity simulating blood flow in a blood vessel aneurysm. Two solution algorithms are proposed for Reynolds numbers Re < 1 and for Re ≥ 1.
Materials and Methods. To accelerate the numerical solution with an explicit finite-difference scheme for the vorticity dynamics equation, the initial condition damping method, the n-fold splitting method of the explicit finite-differences cheme (n = 100, 200), and the symmetry plane of the rectangular cavity–aneurysm were employed. In the splitting method, the maximum time step proportional to the square of the spatial step was used without violating the spectral stability of the explicit scheme in the vorticity equation. On half of the rectangular aneurysm, symmetric solutions were considered with a uniform 100 × 50 grid and equal steps h1 = h2 = 0.01. The inverse matrix for solving the Poisson equation in the «stream function–vorticity» variables with a finite number of elementary operations was computed using the MSIMSL library.
Results. The numerical solution showed that the number and location of circulation regions in the aneurysm at small Reynolds numbers depend on the ratio of the vessel diameter to the aneurysm diameter. At small values of this parameter, the aneurysm contains a single large vortex that narrows the vessel lumen in the case of thrombus formation inside the aneurysm. The narrowing of the blood flow tube inside the aneurysm reaches 34%. It was found that the formation of the hydrodynamic structure in the aneurysm occurs in a time negligible (0.002%) compared to the period between pulsation waves (1 s). For the first time, a boundary condition with fourth-order accuracy was proposed to relate velocity, vorticity, and stream function.
Discussion. The approximation of the equations in systems (4) and (22) has sixth-order accuracy at interior nodes and fourth-order accuracy at boundary nodes. The problem was also solved for blood motion in arteries at high Reynolds numbers (Re = 1500). The solution shows that in the aneurysm symmetry plane a chain of connected vortices is formed with alternating signs of vorticity, carried by the blood flow along the vessel.
Conclusion. The initial–boundary value problems (4), (22) formulated in this work make it possible to qualitatively model blood flow in aneurysms of capillaries, arterioles, and arteries at low and high velocities, as well as blood motion in elements of medical equipment.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.