Александр Васильевич Галабурдин, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики и информатики
344003, г. Ростов-на-Дону, пл. Гагарина, 1
Alexander V. Galaburdin, Cand. Sci. (Phys. – math.), Associate Professor at the Department Mathematics andinformatics
1, Gagarin Sq., Rostovon-Don, 344003
Введение. В последнее время быстро развивается область математики, специализирующаяся на применении искусственных нейронных сетей. В настоящей работе предложен новый метод построения нейронной сети для решения волновых дифференциальных уравнений. Этот метод особенно эффективен при решении краевых задач для областей сложной геометрической формы.
Материалы и методы. Предлагается метод построения нейронной сети, предназначенной для решения волнового уравнения для плоской области G, ограниченной произвольной замкнутой кривой. Предполагается, что граничные условия являются периодическими функциями времени t. Рассматривается установившийся режим. При построении нейронной сети в качестве активационных функций принимаются производные от сингулярных решений уравнения Гельмгольца. Сингулярные точки этих решений равномерно распределены по замкнутым кривым, охватывающим границу области. В качестве обучающего множества используется множество частных решений уравнения Гельмгольца.
Результаты исследования. Получены результаты решения первой краевой задачи для различных областей сложной геометрической формы и граничных условий. Результаты представлены в виде таблиц, содержащих точные решения задачи и решения, полученные с помощью нейронной сети. Дано графическое представление точного решения и решения, полученного построенной нейронной сетью.
Обсуждение. Представленные результаты расчетов показали эффективность предложенного метода построения нейронных сетей, решающих краевые задачи дифференциальных уравнений в частных производных для областей сложной геометрической формы.
Заключение. Дальнейшее развитие разработанного автором метода может быть применено к решению краевых задач для волнового уравнения, для решения внешних задач. Особенный интерес представляет применение этого метода к задачам дифракции.
Introduction. In recent years, the field of mathematics specializing in the application of artificial neural networks has been rapidly developing. In this work, a new method for constructing a neural network for solving wave differential equations is proposed. This method is particularly effective in solving boundary value problems for domains of complex geometric shapes.
Materials and Methods. A method is proposed for constructing a neural network designed to solve the wave equation in a planar domain G bounded by an arbitrary closed curve. It is assumed that the boundary conditions are periodic functions of time t, and the steady-state regime is considered. When constructing the neural network, the activation functions are taken as derivatives of singular solutions of the Helmholtz equation. The singular points of these solutions are uniformly distributed along closed curves surrounding the domain boundary. The training set consists of a set of particular solutions of the Helmholtz equation.
Results. Results were obtained for the solution of the first boundary value problem in various domains of complex geometric shape and under different boundary conditions. The results are presented in tables containing both the exact solutions of the problem and the solutions obtained using the neural network. A graphical comparison is also provided between the exact solution and the solution obtained with the constructed neural network.
Discussion. The presented computational results demonstrate the efficiency of the proposed method for constructing neural networks that solve boundary value problems of partial differential equations in domains of complex geometry.
Conclusion. The further development of the proposed method may be applied to solving boundary value problems for the wave equation in exterior domains. Of particular interest is the application of this method to diffraction problems.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.