Наталья Константиновна Волосова, аспирант
105005, г. Москва, ул. 2-я Бауманская, 5, стр. 1
Natalya K. Volosova, Post-graduate Student
2nd Baumanskaya St. 5‒1, Moscow, 105005
Константин Александрович Волосов, доктор физико-математических наук, профессор кафедры прикладной математики
127994, ГСП-4, г. Москва, ул. Образцова, 9, стр. 9
Konstantin A. Volosov, Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor of the Department of Applied Mathematics
Obraztsova St. 9‒9, Moscow, GSP-4, 127994
Александра Константиновна Волосова, кандидат физико-математических наук, начальник аналитического отдела ООО «Трамплин»
127994, ГСП-4, г. Москва, ул. Образцова, 9, стр. 9
Aleksandra K. Volosova, Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Chief Analytical Department “Tramplin” LLC
Obraztsova St. 9‒9, Moscow, GSP-4, 127994
Михаил Иванович Карлов, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики
141701, ГСП-4, г. Долгопрудный, Институтский переулок, 9
Mikhail I. Karlov, Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor of the Department of Mathematics
9, Institutsky Lane, GSP-4, Dolgoprudny, 141701
Дмитрий Феликсович Пастухов, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры технологий программирования
211440, г. Новополоцк, ул. Блохина, 29
Dmitriy F. Pastukhov, Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor
Blokhin St. 29, Novopolotsk, 211440
Юрий Феликсович Пастухов, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры технологий программирования
211440, г. Новополоцк, ул. Блохина, 29
Yuriy F. Pastukhov, Candidate of Physical and Mathematical Sciences,Associate Professor
Blokhin St. 29, Novopolotsk, 211440
Введение. Численно решается двумерная гидродинамическая задача в переменных «функция тока — вихрь» в открытой прямоугольной каверне, моделирующей течение крови и ее свертывание в аневризме кровеносного сосуда с учетом простейшей нелинейной математической модели за время первой фазы свертывания (30 секунд).Материалы и методы. Для ускорения численного решения нестационарной задачи с явной разностной схемой уравнения динамики вихря использовался метод n-кратного расщепления явной разностной схемы (n = 100, 200) и наличие плоскости симметрии прямоугольной области каверны — аневризмы. Метод расщепления также применялся для решения динамической системы уравнений адвекции-диффузии с нелинейной правой частью для факторов крови активатора и ингибитора (N = 70). В двух методах согласовался максимальный шаг времени τ0 в циклах расщепления. На половине прямоугольной аневризмы рассматривались симметричные решения и применялась равномерная сетка 100×50 с равным шагом h1= h2= 0,01. Обратная матрица для решения уравнения Пуассона в переменных «функция тока — вихрь» за конечное число элементарных операций вычислялась библиотекой Msimsl.Результаты исследования. Численное решение задачи показало, что в артериолах (Re = 3,6) происходит адвекция и диффузия фибрина с учетом нелинейной правой части системы уравнений динамики для активатора и ингибитора так, как если бы фибрин двигался навстречу крови. Максимальная плотность фибрина реализуется в средней части сосуда в форме «фибриновой подковы». Решение задачи при больших числах Рейнольдса (Re = 3000) в артериях эквивалентно движению фибрина вдоль потока, при этом центральная часть кровеносного сосуда отделена от аневризмы по ее геометрической границе «фибриновой ножкой». В артериолах обнаружен также эффект слоеного роста фибрина с периодическим изменением плотности у стенки аневризмы, как и у авторов других работ. Решение задачи в артерии показало, что фибриновая пленка в аневризме при быстром движении крови образуется за время порядка одной секунды, что много меньше, чем первая фаза свертывания (30 секунд).Обсуждение. Аппроксимация уравнений имеет шестой порядок погрешности во внутренних узлах и четвертый в граничных узлах. Задача решена для движения крови в аневризмах артерий при больших числах Рейнольдса (Re = 3000) и для течения крови в аневризмах артериол (Re = 3,6). Безразмерный диапазон изменения плотности фибрина вкладывается в аналогичный диапазон в работах других авторов.Заключение. В работе предложены системы уравнений, представляющие собой простейшую нестационарную модель движения крови и образования фибрина (тромба) в аневризмах кровеносных сосудов. Предложенная модель поможет качественно выяснить причины образования тромбов в аневризмах артерий и артериол, а также в элементах медицинского оборудования.
Introduction. A two-dimensional hydrodynamic problem is numerically solved in the “stream function-vorticity” formulation for an open rectangular cavity simulating blood flow and its coagulation within a vascular aneurysm. The model accounts for a simplified nonlinear mathematical description of the first phase of blood coagulation (30 seconds).Materials and Methods. To accelerate the numerical solution of the unsteady problem with an explicit finite-difference scheme for the vorticity dynamics equation, an n-fold splitting method of the explicit scheme (n = 100, 200) was employed, along with the use of a symmetry plane in the rectangular aneurysm domain. The splitting method was also applied to solve the dynamic system of advection-diffusion equations with nonlinear source terms for the activator and inhibitor blood factors (N = 70). The maximum time step τ0 was synchronized across both splitting cycles. The computation was performed on half of the rectangular aneurysm using a uniform 100×50 grid with equal spacing h1 = h2 = 0.01. The inverse matrix required for solving the Poisson equation in the “stream function-vorticity” formulation with a finite number of elementary operations was computed using the Msimsl library.Results. The numerical solution demonstrated that, in arterioles (Re = 3.6), advection and diffusion of fibrin occur according to the nonlinear dynamics of activator and inhibitor factors, as if fibrin were moving counter to the blood flow. The maximum fibrin density forms in the central region of the vessel in the shape of a “fibrin horseshoe”. For higher Reynolds numbers (Re = 3000) corresponding to arteries, fibrin motion occurs along the main flow, and the central part of the vessel is separated from the aneurysm by a “fibrin foot” along its geometric boundary. In arterioles, a layered fibrin growth effect was also observed, with periodic variations in fibrin density near the aneurysm wall, consistent with other authors’ findings. In arteries, the fibrin film within the aneurysm forms in approximately one second — significantly shorter than the first coagulation phase (30 seconds).Discussion. The finite-difference approximation achieves sixth-order accuracy at interior nodes and fourth-order accuracy at boundary nodes. The model was applied to simulate blood flow in arterial aneurysms at high Reynolds numbers (Re = 3000) and in arteriole aneurysms (Re = 3.6). The dimensionless range of fibrin density variation is consistent with data reported by other researchers.Conclusions. The study proposes a system of equations representing a simplified unsteady model of blood motion and fibrin (thrombus) formation in vascular aneurysms. The proposed model provides a qualitative understanding of thrombus formation mechanisms in aneurysms of arteries and arterioles, as well as in elements of medical equipment.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.