vmaitComputational Mathematics and Information TechnologiesComputational Mathematics and Information Technologies2587-8999Донской государственный технический университет10.23947/2587-8999-2026-10-1-7-20vmait-221Research ArticleВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКАCOMPUTATIONAL MATHEMATICSСемантическая сегментация с оценкой неопределённости на основе модели Дирихле и анизотропной регуляризацииSemantic Segmentation with Uncertainty Estimation Based on the Dirichlet Model and Anisotropic Regularizationhttps://orcid.org/0000-0003-3651-7629ЩетининЕ. Ю.ShchetininE. Yu.

Евгений Юрьевич Щетинин, доктор физико-математических наук, профессор

кафедра информационных технологий

299053; ул. Университетская, 33; Севастополь

SPIN-code

Evgeny Yu. Shchetinin, Dr. Sci. (Phys.-Math.), Professor

Department of Information Technologies

299053; 33, Universitetskaya St.; Sevastopol

SPIN-code

riviera-molto@mail.ruhttps://orcid.org/0009-0003-3870-1558ШевчукА. А.ShevchukA. A.

Андрей Андреевич Шевчук, аспирант

кафедра информационных технологий

299053; ул. Университетская, 33; Севастополь

Andrey A. Shevchuk, PhD Student

Department of Information Technologies

299053; 33, Universitetskaya St.; Sevastopol

andreiluck11@yandex.ruСевастопольский государственный университетРоссияSevastopol State UniversityRussian Federation202602042026101720Copyright © Щетинин Е.Ю., Шевчук А.А., 20262026Щетинин Е.Ю., Шевчук А.А.Shchetinin E.Y., Shevchuk A.A.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.cmit-journal.ru/jour/article/view/221   Введение

   Введение. В задачах вычислительной математики вариационные методы минимизации дискретных энергий широко применяются для регуляризации некорректных задач. Однако стандартные дискретные схемы зачастую обладают масштабной несогласованностью: при измельчении сетки (h→0) веса, зависящие от ненормированных скачков функции, вырождаются, что приводит к тривиализации анизотропных свойств предельного оператора. В данной работе предложен вычислительный метод, решающий эту проблему за счет параметризации распределения Дирихле и строго обоснованной анизотропной пространственной регуляризации.

   Материалы и методы

   Материалы и методы. Математическая модель формулируется как задача оптимизации составного функционала в пространстве сеточных функций. Функционал включает ожидаемую логарифмическую функцию потерь, регуляризацию Кульбака-Лейблера и пространственные регуляризаторы типа взвешенной энергии Дирихле. Для обеспечения структурной состоятельности дискретного оператора edge-aware весовые функции конструируются строго через нормированные конечные разности. Асимптотическое поведение дискретных энергий исследуется с помощью аппарата сходимости.

   Результаты исследования. Главным теоретическим результатом работы является математическое доказательство Γ-сходимости семейства дискретных анизотропных функционалов к нетривиальному непрерывному пределу в топологии L²(Ω). Доказана равнокоэрцитивность дискретных энергий, гарантирующая сходимость последовательности почти минимизаторов к решению непрерывной задачи.

   Обсуждение

   Обсуждение. Использование нормированных конечных разностей при построении весов восстанавливает размерную однородность и обеспечивает строгую масштабную инвариантность дискретизации нелокальных операторов.

   Заключение

   Заключение. Предложенный метод успешно связывает непрерывные вариационные постановки с дискретными предиктивными моделями, предоставляя теоретически обоснованный и вычислительно эффективный (дополнительные расходы инференса составляют 17–18 %) инструмент с контролируемой погрешностью.

   Introduction

   Introduction. In computational mathematics, variational methods for minimizing discrete energies are widely used for the regularization of ill-posed problems. However, standard discrete schemes often suffer from scale inconsistency: upon mesh refinement (h→0), weights depending on unnormalized jumps of the function degenerate, leading to trivializationof the anisotropic properties of the limiting operator. In this paper, a computational method is proposed that solves this problem by parameterizing the Dirichlet distribution and employing rigorously justified anisotropic spatial regularization.

   Materials and Methods

   Materials and Methods. The mathematical model is formulated as an optimization problem for a composite functional in the space of grid functions. The functional includes an expected logarithmic loss function, Kullback-Leibler regularization, and spatial regularizers of the weighted Dirichlet energy type. To ensure the structural consistency of the discrete operator, edge-aware weight functions are constructed strictly through normalized finite differences. The asymptotic behavior of the discrete energies is investigated using the apparatus of Γ-convergence.

   Results

   Results. The main theoretical result of the work is a mathematical proof of the Γ-convergence of a family of discrete anisotropic functionals to a non-trivial continuous limit in the L²(Ω) topology. The equicoercivity of the discrete energies is proven, guaranteeing the convergence of a sequence of almost minimizers to the solution of the continuous problem.

   Discussion

   Discussion. The use of normalized finite differences in constructing the weights restores dimensional homogeneity and ensures strict scale invariance of the discretization of non-local operators.

   Conclusion

   Conclusion. The proposed method successfully links continuous variational formulations with discrete predictive models, providing a theoretically justified and computationally efficient tool (additional inference costs amount to 17–18 %) with controlled error.

семантическая сегментацияраспределение Дирихлеоценка неопределённостикалибровка вероятностейанизотропная регуляризацияэнергия ДирихлеΓ-сходимостьравнокоэрцитивностьмедицинские изображенияsemantic segmentationDirichlet distributionuncertainty estimationprobability calibrationanisotropic regularizationDirichlet energyΓ-convergenceequicoercivitymedical imagesРабота выполнена при поддержке Севастопольского государственного университета (проект № 42−01−09/319/2025−1)The work was supported by Sevastopol State University (Project No. 42−01−09/319/2025−1)ReferencesBegoli E., Bhattacharya T., Kusnezov D. The need for uncertainty quantification in machine-assisted medical decision making. Nat Mach Intell. 2019;1(1):20–23. doi: 10.1038/s42256-018-0004-1Begoli E., Bhattacharya T., Kusnezov D. The need for uncertainty quantification in machine-assisted medical decision making. Nat Mach Intell. 2019;1(1):20–23. doi: 10.1038/s42256-018-0004-1Abdar M., Pourpanah F., Hussain S., et al. A review of uncertainty quantification in deep learning: Techniques, applications and challenges. Inf Fusion. 2021;76:243–297. doi: 10.1016/j.inffus.2021.05.008Abdar M., Pourpanah F., Hussain S., et al. A review of uncertainty quantification in deep learning: Techniques, applications and challenges. Inf Fusion. 2021;76:243–297. doi: 10.1016/j.inffus.2021.05.008Gal Y., Ghahramani Z. Dropout as a Bayesian approximation: representing model uncertainty in deep learning. In: Proc. ICML. New York: PMLR; 2016. P. 1050–1059.Gal Y., Ghahramani Z. Dropout as a Bayesian approximation: representing model uncertainty in deep learning. In: Proc. ICML. New York: PMLR; 2016. P. 1050–1059.Lakshminarayanan B., Pritzel A., Blundell C. Simple and scalable predictive uncertainty estimation using deep ensembles. In: Advances in Neural Information Processing Systems. 2017;30:6402–6413.Lakshminarayanan B., Pritzel A., Blundell C. Simple and scalable predictive uncertainty estimation using deep ensembles. In: Advances in Neural Information Processing Systems. 2017;30:6402–6413.Sensoy M., Kaplan L., Kandemir M. Evidential deep learning to quantify classification uncertainty. In: Advances in Neural Information Processing Systems. 2018;31:3183–3193.Sensoy M., Kaplan L., Kandemir M. Evidential deep learning to quantify classification uncertainty. In: Advances in Neural Information Processing Systems. 2018;31:3183–3193.Malinin A., Gales M. Predictive uncertainty estimation via prior networks. In: Advances in Neural Information Processing Systems. 2018;31:7047–7058.Malinin A., Gales M. Predictive uncertainty estimation via prior networks. In: Advances in Neural Information Processing Systems. 2018;31:7047–7058.Jungo A., Reyes M. Assessing reliability and challenges of uncertainty estimations for medical image segmentation. In: MICCAI 2019. LNCS, vol. 11765. Cham: Springer; 2019. P. 48–56. doi: 10.1007/978-3-030-32245-8_6Jungo A., Reyes M. Assessing reliability and challenges of uncertainty estimations for medical image segmentation. In: MICCAI 2019. LNCS, vol. 11765. Cham: Springer; 2019. P. 48–56. doi: 10.1007/978-3-030-32245-8_6Nair T., Precup D., Arnold D.L., Arbel T. Exploring uncertainty measures in deep networks for multiple sclerosis lesion detection and segmentation. Med Image Anal. 2020;59:101557. doi: 10.1016/j.media.2019.101557Nair T., Precup D., Arnold D.L., Arbel T. Exploring uncertainty measures in deep networks for multiple sclerosis lesion detection and segmentation. Med Image Anal. 2020;59:101557. doi: 10.1016/j.media.2019.101557Mehrtash A., Wells W.M., Tempany C.M., Abolmaesumi P., Kapur T. Confidence calibration and predictive uncertainty estimation for deep medical image segmentation. IEEE Trans Med Imaging. 2020;39(12):3868–3878. doi: 10.1109/TMI.2020.3006437Mehrtash A., Wells W.M., Tempany C.M., Abolmaesumi P., Kapur T. Confidence calibration and predictive uncertainty estimation for deep medical image segmentation. IEEE Trans Med Imaging. 2020;39(12):3868–3878. doi: 10.1109/TMI.2020.3006437Li H., Nan Y., Del Ser J., Yang G. Region-based evidential deep learning to quantify uncertainty and improve robustness of brain tumor segmentation. Neural Comput Appl. 2023;35:22071–22085. doi: 10.1007/s00521-022-08016-4Li H., Nan Y., Del Ser J., Yang G. Region-based evidential deep learning to quantify uncertainty and improve robustness of brain tumor segmentation. Neural Comput Appl. 2023;35:22071–22085. doi: 10.1007/s00521-022-08016-4UDEL: Rethinking uncertainty dynamic estimation learning for ambiguous medical image segmentation. Digit Signal Process. 2025;169:105723. doi: 10.1016/j.dsp.2025.105723UDEL: Rethinking uncertainty dynamic estimation learning for ambiguous medical image segmentation. Digit Signal Process. 2025;169:105723. doi: 10.1016/j.dsp.2025.105723Yang B., Zhang X., Zhang H., et al. Structural uncertainty estimation for medical image segmentation. Med Image Anal. 2025;103:103602. doi: 10.1016/j.media.2025.103602Yang B., Zhang X., Zhang H., et al. Structural uncertainty estimation for medical image segmentation. Med Image Anal. 2025;103:103602. doi: 10.1016/j.media.2025.103602Han K., Wang S., Chen J., et al., Region uncertainty estimation for medical image segmentation with noisy labels. IEEE Trans Med Imaging. 2025;44(12):5197–5207. doi: 10.1109/TMI.2025.3589058Han K., Wang S., Chen J., et al., Region uncertainty estimation for medical image segmentation with noisy labels. IEEE Trans Med Imaging. 2025;44(12):5197–5207. doi: 10.1109/TMI.2025.3589058Dal Maso G. An Introduction to Γ-Convergence. Boston: Birkhäuser; 1993. doi: 10.1007/978-1-4612-0327-8Dal Maso G. An Introduction to Γ-Convergence. Boston: Birkhäuser; 1993. doi: 10.1007/978-1-4612-0327-8Braides A. Γ-Convergence for Beginners. Oxford: Oxford University Press; 2002. doi: 10.1093/acprof:oso/9780198507840.001.0001Braides A. Γ-Convergence for Beginners. Oxford: Oxford University Press; 2002. doi: 10.1093/acprof:oso/9780198507840.001.0001Ciarlet P.G. The Finite Element Method for Elliptic Problems. Philadelphia: SIAM; 2002. doi: 10.1137/1.9780898719208Ciarlet P.G. The Finite Element Method for Elliptic Problems. Philadelphia: SIAM; 2002. doi: 10.1137/1.9780898719208Ronneberger O., Fischer P., Brox T. U-Net: convolutional networks for biomedical image segmentation. In: MICCAI 2015. LNCS, vol. 9351. Cham: Springer; 2015. P. 234–241. doi: 10.1007/978-3-319-24574-4_28Ronneberger O., Fischer P., Brox T. U-Net: convolutional networks for biomedical image segmentation. In: MICCAI 2015. LNCS, vol. 9351. Cham: Springer; 2015. P. 234–241. doi: 10.1007/978-3-319-24574-4_28He K., Zhang X., Ren S., Sun J. Deep residual learning for image recognition. In: Proc. CVPR. 2016. P. 770–778. doi: 10.1109/CVPR.2016.90He K., Zhang X., Ren S., Sun J. Deep residual learning for image recognition. In: Proc. CVPR. 2016. P. 770–778. doi: 10.1109/CVPR.2016.90Kingma D.P., Ba J. Adam: a method for stochastic optimization. In: Proc. ICLR. 2015. arXiv:1412.6980.Kingma D.P., Ba J. Adam: a method for stochastic optimization. In: Proc. ICLR. 2015. arXiv:1412.6980.Bernard O., Lalande A., Zotti C., et al. Deep learning techniques for automatic MRI cardiac multistructures segmentation and diagnosis. IEEE Trans Med Imaging. 2018;37(11):2514–2525. doi: 10.1109/TMI.2018.2837502Bernard O., Lalande A., Zotti C., et al. Deep learning techniques for automatic MRI cardiac multistructures segmentation and diagnosis. IEEE Trans Med Imaging. 2018;37(11):2514–2525. doi: 10.1109/TMI.2018.2837502Landman B.A., Xu Z., Iglesias J.E., et al. MICCAI Multi-Atlas Labeling Beyond the Cranial Vault ⸺ Workshop and Challenge. doi: 10.7303/syn3193805Landman B.A., Xu Z., Iglesias J.E., et al. MICCAI Multi-Atlas Labeling Beyond the Cranial Vault ⸺ Workshop and Challenge. doi: 10.7303/syn3193805Kavur A.E., Gezer N.S., Bariş M., et al. CHAOS Challenge ⸺ combined (CT-MR) healthy abdominal organ segmentation. Med Image Anal. 2021;69:101950. doi: 10.1016/j.media.2020.101950Kavur A.E., Gezer N.S., Bariş M., et al. CHAOS Challenge ⸺ combined (CT-MR) healthy abdominal organ segmentation. Med Image Anal. 2021;69:101950. doi: 10.1016/j.media.2020.101950Geifman Y., El-Yaniv R. Selective classification for deep neural networks. In: Advances in Neural Information Processing Systems. 2017;30:4878–4887.Geifman Y., El-Yaniv R. Selective classification for deep neural networks. In: Advances in Neural Information Processing Systems. 2017;30:4878–4887.Isensee F., Jaeger P.F., Kohl S.A.A. et al. nnU-Net: a self-configuring method for deep learning-based biomedical image segmentation. Nat Methods. 2021;18(2):203–211. doi: 10.1038/s41592-020-01008-zIsensee F., Jaeger P.F., Kohl S.A.A. et al. nnU-Net: a self-configuring method for deep learning-based biomedical image segmentation. Nat Methods. 2021;18(2):203–211. doi: 10.1038/s41592-020-01008-zPerona P., Malik J. Scale-space and edge detection using anisotropic diffusion. IEEE Trans Pattern Anal Mach Intell. 1990;12(7):629–639. doi: 10.1109/34.56205Perona P., Malik J. Scale-space and edge detection using anisotropic diffusion. IEEE Trans Pattern Anal Mach Intell. 1990;12(7):629–639. doi: 10.1109/34.56205Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. Москва: БИНОМ; 2012. 636 с.Bakhvalov N.S., Zhidkov N.P., Kobelkov G.M. Numerical methods. Moscow: BINOM; 2012. 636 p.Джонсон Н.Л., Котц С., Балакришнан Н. Непрерывные одномерные распределения. Т. 2. Нью-Йорк: Wiley; 1995.Johnson N.L., Kotz S., Balakrishnan N. Continuous Univariate Distributions. Vol. 2. 2<sup>nd</sup> ed. New York: Wiley; 1995. (In Russ.)Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. Москва: Наука; 1979. 288 с.Tikhonov A.N., Arsenin V.Ya. Methods for solving ill-posed problems. Moscow: Nauka; 1979. 288 p. (In Russ.)Самарский А.А. Теория разностных схем. Москва: Наука; 1989. 616 с.Samarsky A.A. The theory of difference schemes. Moscow: Nauka; 1989. 616 p. (In Russ.)Chen T., Xu B., Zhang C., Guestrin C. Training deep nets with sublinear memory cost. arXiv:1604.06174. 2016.Chen T., Xu B., Zhang C., Guestrin C. Training deep nets with sublinear memory cost. arXiv:1604.06174. 2016.Micikevicius P., Narang S., Alben J. et al. Mixed precision training. In: Proc. ICLR. 2018. arXiv:1710.03740.Micikevicius P., Narang S., Alben J. et al. Mixed precision training. In: Proc. ICLR. 2018. arXiv:1710.03740.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.