Евгений Викторович Кравченко, независимый исследователь
Evgenii V. Kravchenko, Independent researcher
Андрей Михайлович Пупасов-Максимов, кандидат физико-математических наук, профессор
кафедра математики
Жуис-ди-Фора
SPIN-код
Andrey M. Pupasov-Maksimov, Candidate of Physico-Mathematical Sciences, Associate professor
Departamento de Matemática
MG – 36036-900; Via Local, 880 – São Pedro; Juiz de Fora
SPIN-код
Матвей Александрович Мерзликин, независимый исследователь
Matvei A. Merzlikin, Independent researcher
Введение. Предложен итеративный геометро-комбинаторный подход к конструированию фракталов с кубической симметрией — кубофракталов, адаптированный для их последующей реализации. Установлена связь введенных кубофракталов с аттракторами нестационарных систем итерированных функций. Изучены два примера кубофракталов, определены аттракторы соответствующих систем итерированных функций и вычислены размерности Хаусдорфа. В прикладной физике и материаловедении фрактальные модели могут успешно использоваться для описания иерархической структуры новых материалов. При этом идеальное самоподобие на всех масштабах не может наблюдаться в реальных системах. Когда речь идет о синтезе фракталоподобных структур, зачастую можно выделить минимальный масштаб и базовые элементы структуры, которые комбинируются на более высоких иерархических уровнях. В данной работе авторы используют именно этот подход для построения кубофракталов.
Материалы и методы. Предложенный подход близок к построению фракталов с помощью L-систем, однако даже простые правила компоновки кубов, которые рассматривали авторы, требуют контексто-зависимых правил. В работе установлена связь между рассматриваемыми алгоритмами генерации и нестационарным обобщением систем итерированных функций. Таким образом, исследование предельных переходов от предфракталов к фракталам проводится в рамках теории сжимающих отображений. Соответствующие нестационарные системы итерированных функций реализованы в Wolfram Mathematica (в приложении приводится код для генерации и визуализации кубофракталов).
Результаты исследования. Показана адекватность и простота алгоритма генерации кубофракталов с точки зрения создания соответствующих структур. Установлена связь с математическим аппаратом нестационарных систем итерированных функций. Изучены варианты правил генерации кубофракталов и выделены различные классы получающихся структур. Исследованы поточечные пределы итераций кубофракталов и предельный переход по метрике Хаусдорфа. Показано, что, выбирая последовательность an+1 с заданной скоростью роста и ее разбиение на Ran и ∆n, можно управлять мерой итераций и хаусдорфовой размерностью предела. Для двух базовых примеров кубофракталов с последовательностями an = n∙2n-1 + 2, n > 0 (кубосикстер) и an = 1+8∙5n-2, n >1 вычислены фрактальные размерности, равные 1 и ln3/ln5 соответственно. Рассмотрены обратные траектории нестационарных систем итерированных функций и предложен подход к изучению их аттракторов.
Обсуждение. Кубофракталы могут стать удобным подходом к генерации фрактальных структур для приложений и, кроме того, они существенно обогащают теорию нестационарных систем итерированных функций нетривиальными примерами.
Заключение. Предельное множество кубосикстера есть просто отрезок [0;1], в то время как мера конечных итераций, которые приближаются к отрезку в смысле метрики Хаусдорфа, стремится к нулю. Можно предположить, что и другие физические свойства итераций (масса, прочность, пористость и т. д.) будут различаться в поточечном пределе и в пределе в смысле метрики Хаусдорфа. В связи с этим именно предфракталы для кубосикстера представляют исследовательский интерес в приложениях.
Introduction. An iterative geometric-combinatorial approach to the construction of fractals with cubic symmetry — cubofractals — is proposed, adapted for their subsequent physical implementation. A connection between the introduced cubofractals and attractors of non-stationary iterated function systems is established. Two examples of cubofractals are studied, the attractors of the corresponding iterated function systems are determined, and their Hausdorff dimensions are computed. In applied physics and materials science, fractal models can be successfully used to describe the hierarchical structure of new materials. However, perfect self-similarity at all scales is not observed in real systems. When synthesizing fractal-like structures, a minimum scale and basic structural elements that combine at higher hierarchical levels can often be identified. In this work, the authors employ this very approach to construct cubofractals.
Materials and Methods. The proposed approach is close to constructing fractals using L-systems; however, even the simple cube arrangement rules considered by the authors require context-sensitive rules. This work establishes a connection between the considered generation algorithms and a non-stationary generalization of iterated function systems. Thus, the study of the limit transitions from prefractals to fractals is conducted within the framework of the theory of contractive mappings. The corresponding non-stationary iterated function systems are implemented in Wolfram Mathematica (the appendix provides code for the generation and visualization of cubofractals).
Results. The adequacy and simplicity of the cubofractal generation algorithm for creating corresponding structures are demonstrated. A connection with the mathematical apparatus of non-stationary iterated function systems is established. Variants of cubofractal generation rules are studied, and different classes of the resulting structures are identified. Pointwise limits of cubofractal iterations and the limit transition in the Hausdorff metric are investigated. It is shown that by choosing a sequence an+1 with a given growth rate and its partitioning into Ran and ∆n, we can control the iteration measure and the Hausdorff dimension of the limit. For two basic examples of cubo-fractals with sequences an = n∙2n-1 + 2, n > 0 (cubosixter) and an = 1+ 8∙5n-2, n > 1 we calculated the fractal dimensions 1 and ln3/ln5, respectively. Backward trajectories of non-stationary systems of iterated functions are considered, and an approach to studying their attractors is proposed.
Discussion. Cubofractals can provide a convenient approach for generating fractal structures for applications and, furthermore, they significantly enrich the theory of non-stationary iterated function systems with non-trivial examples.
Conclusion. The limit set of the cubosister is simply the segment [0;1], while the measure of the finite iterations, which approach the segment in the sense of the Hausdorff metric, tends to zero. It can be assumed that other physical properties of the iterations (mass, strength, porosity, etc.) will also differ in the pointwise limit and in the limit in the sense of the Hausdorff metric. In this regard, it is the prefractals for the cubosister that are of research interest in applications.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.