Наталья Константиновна Волосова, аспирант
105005, г. Москва, ул. 2-я Бауманская, 5, стр. 1
Natalya K. Volosova, Post-graduate Student of Bauman
5‒1, 2nd Baumanskaya St., Moscow, 105005
Константин Александрович Волосов, доктор физико-математических наук, профессор кафедры прикладной математики
127994, ГСП-4, г. Москва, ул. Образцова, 9, стр. 9
Konstantin A. Volosov, Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor of the Department of Applied Mathematics
9‒9, Obraztsova St., Moscow, GSP-4, 127994
Александра Константиновна Волосова, кандидат физико-математических наук, начальник аналитического отдела ООО «Трамплин»
127994, ГСП-4, г. Москва, ул. Образцова, 9, стр. 9
Aleksandra K. Volosova, Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Chief Analytical Department “Tramplin” LLC
9‒9, Obraztsova St., Moscow, GSP-4, 127994
Михаил Иванович Карлов, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики
141701, ГСП-4, г. Долгопрудный, Институтский переулок, 9
Mikhail I. Karlov, Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor of the Department of Mathematics
9, Institutsky Lane, GSP-4, Dolgoprudny, 141701
Дмитрий Феликсович Пастухов, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры технологий программирования
211440, г. Новополоцк, ул. Блохина, 29
Dmitriy F. Pastukhov, Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor
29, Blokhin St., Novopolotsk, 211440
Юрий Феликсович Пастухов, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры технологий программирования
211440, г. Новополоцк, ул. Блохина, 29
Yuriy F. Pastukhov, Candidate of Physical and Mathematical Sciences,Associate Professor
29, Blokhin St., Novopolotsk, 211440
Введение. Впервые предложен модифицированный метод вырождения интегрального ядра для решения интегральных уравнений Фредгольма второго рода. Идея заключается в том, чтобы интегральное ядро разложить в ряд Тейлора по одной переменной x, а не по двум переменным x, s как в классическом методе.
Материалы и методы. Разложение ядра в ряд проводится в средней точке отрезка интегрирования, что уменьшает модули элементов матрицы C, а также область невырожденности для матрицы I–λC. Используется система степенных базисных функций на отрезке интегрирования. Получены три теоремы для достаточных условий корректности предложенного алгоритма методом вырождения интегрального ядра. Введено определение факториальной нормы Чебышева вектор-функции. Факториальная норма для системы частных производных интегрального ядра по переменной x и параметр λ входят в неравенство третьей теоремы — достаточное условие корректности алгоритма. Обратная матрица для решения уравнения Пуассона за конечное число элементарных операций вычислялась библиотекой Msimsl.
Результаты исследования. Предложенный в работе численный алгоритм протестирован на трех интегральных уравнениях Фредгольма с ядрами с экспоненциальным ростом или с периодическим изменением знака ядра. Численные решения совпадают с точными решениями в 15 значащих знаках в равномерной метрике.
Обсуждение. Предложен модифицированный алгоритм численного решения уравнения Фредгольма второго рода с двойной точностью. Решение представимо в виде суммы n+1 слагаемого степенного вида с нулем в середине отрезка [a, b] и функции — правой части уравнения Фредгольма.
Заключение. Метод вырождения интегрального ядра представляет интерес для функционального анализа и численных методов. Ядро интегрального уравнения должно быть достаточно гладким по переменной x.
Introduction. A modified degenerate kernel method for solving Fredholm integral equations of the second kind is proposed for the first time. The main idea is to expand the integral kernel into a Taylor series with respect to a single variable x, rather than with respect to two variables x and s, as in the classical method.
Materials and Methods. The kernel expansion is performed at the midpoint of the integration interval, which reduces the absolute values of the elements of matrix C, as well as enlarges the nonsingularity region of the matrix I–λC. A system of power basis functions is employed on the integration interval. Three theorems establishing sufficient conditions for the correctness of the proposed algorithm based on the degenerate kernel method are obtained. A definition of the factorial Chebyshev norm of a vector-valued function is introduced. The factorial norm for the system of partial derivatives of the integral kernel with respect to the variable x, together with the parameter λ, is included in the inequality of the third theorem, which provides a sufficient condition for the correctness of the algorithm. The inverse matrix arising in the numerical solution was computed using the IMSL library within a finite number of elementary operations.
Results. The proposed numerical algorithm was tested on three Fredholm integral equations with kernels exhibiting exponential growth or periodic sign changes. The numerical solutions coincide with the exact solutions to 15 significant digits in the uniform metric.
Discussion. A modified algorithm for the numerical solution of Fredholm equations of the second kind with double precision is proposed. The solution is represented as the sum of n+1 power-type terms vanishing at the midpoint of the interval [a, b] and the right-hand side function of the Fredholm equation.
Conclusion. The degenerate kernel method is of interest for both functional analysis and numerical methods. The integral kernel must possess sufficient smoothness with respect to the variable x.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.