Петров Игорь Борисович - член-корреспондент РАН, доктор физико-математических наук, профессор.
141701, Московская область, Долгопрудный, Институтский переулок, 9
9, Institutsky Lane, Dolgoprudny, Moscow Region
Разработка вычислительного метода не является делом простым и сводящимся к замене дифференциального оператора разностным. Для его построения необходимо грамотно поставить математическую задачу, адекватную рассматриваемой физической. Кроме того, алгоритм должен удовлетворять и некоторым другим требованиям. Поэтому для создания численного алгоритма нужна не только изобретательность и фантазия, но и глубокое понимание причин, которыми эти требования вызываются.
Для описания нестационарного поведения сплошных сред используются системы дифференциальных уравнений в частных производных гиперболического типа. Для решения этих проблем характеристические методы разрабатывались таким образом, чтобы учесть соответствующие свойства гиперболических уравнений и иметь возможность строить так называемую характеристическую, адаптирующую к решению задачи, нерегулярную сетку. Разработаны методы сквозного счета, учитывающие свойства систем уравнений гиперболического типа — обратные методы характеристик или сеточно-характеристические методы.
В сеточно-характеристических методах используется регулярная расчетная сетка, на которой аппроксимируется не решаемая исходная система, а условия совместимости вдоль характеристических линий с интерполяцией искомых функций в точках пересечения характеристик с координатной линией, на которой данные уже известны. Полученная характеристическая форма уравнений газовой динамики позволяет понять, как правильно ставить граничные условия.
При разработке метода необходимо учитывать физическую сторону решаемой задачи. При этом метод должен удовлетворять определенным требованиям, понимание которых необходимо при его разработке.
The development of a computational method is not a simple matter and boils down to replacing the differential operator with a difference one. To construct it, it is necessary to correctly set a mathematical problem that is adequate to the physical one under consideration. In addition, the algorithm must meet some other requirements. Therefore, to create a numerical algorithm requires not only ingenuity and imagination, but also a deep understanding of the reasons why these requirements are caused.
Systems of partial differential equations of hyperbolic type are used to describe the unsteady behavior of continuous media. To solve these problems, characteristic methods were developed in such a way as to take into account the corresponding properties of hyperbolic equations and to be able to build a so-called characteristic irregular grid adapting to the solution of the problem. Methods of end-to-end counting have been developed that take into account the properties of systems of hyperbolic equations — inverse methods of characteristics or grid-characteristic methods.
In grid-characteristic methods, a regular computational grid is used, not a solvable initial system is approximated on it, but compatibility conditions along characteristic lines with interpolation of the desired functions at the points of intersection of characteristics with a coordinate line on which the data is already known. The obtained characteristic form of the gas dynamics equations makes it possible to understand how to set the boundary conditions correctly.
The construction of a numerical method is not a simple matter and is not reduced to the formal replacement of derivatives by approximating their difference relations (for example, using finite differences). When developing the method, it is necessary to take into account the physical side of the problem being solved. At the same time, the method must meet certain requirements, the understanding of which is necessary during its development.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.