Петров Игорь Борисович, член-корреспондент РАН, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой «Вычислительная математика и информатика» Московского физико-технического института (государственного университета), г. Москва, РФ.
Petrov, Igor B., Correspondent Member of RAS, Dr.Sci. (Phys. -Math.), Professor, Moscow Institute of Physics and Technology (State University), Moscow, Russian Federation
Сеточно-характеристический метод – перспективный численный метод решения гиперболических систем уравнений, например, уравнений, описывающих упругие и акустические волны. Этот метод обладает высокой точностью и позволяет физически правильно моделировать волновые процессы в гетерогенных средах. Сеточно-характеристический метод позволяет корректно учитывать граничные условия, а также условия на поверхностях раздела сред с различными физическими характеристиками. Наиболее полно преимущества метода проявляются для одномерных уравнений, особенно в сочетании с фиксированной разностной сеткой, как в обычных сеточных методах. Однако, и в многомерном случае при использовании алгоритмов расщепления по пространственным переменным, удалось сохранить его положительные качества. Использование для гиперболических уравнений методов типа Рунге – Кутта, либо интегро-интерполяционного метода позволяет эффективно проводить обобщение методов, развитых для линейных уравнений, на нелинейный случай, в том числе, для обеспечения выполнения разностных аналогов законов сохранения, что важно при сквозном счете, например, разрывных решений. На основе разработанного автором варианта сеточно-характеристического метода был численно решен ряд важных задач сейсморазведки, сейсмостойкости, глобальной сейсмики на Земле и Марсе, медицинских приложений, неразрушающего контроля железнодорожных путей, моделирования процессов создания и характеристик композитных материалов для аэрокосмической отрасли и в других областях практического применения. Существенным преимуществом построенного метода является сохранение его устойчивости и точности при значительных деформациях среды. В данной статье представлены результаты численного решения на основе сеточно-характеристического метода задачи о моделировании упруго-пластической деформации при черепно-мозговых травмах.
The grid-characteristic method is a promising numerical method for solving hyperbolic systems of equations, e.g., equations describing elastic and acoustic waves. This method has high precision and allows you to physically correctly simulate wave processes in heterogeneous media. The grid-characteristic method makes it possible to correctly take into account boundary conditions and conditions on surfaces with different physical characteristics. Most fully the advantages of the method are for one-dimensional equations, especially in combination with a fixed difference grid, as in conventional grid-based methods. However, in the multidimensional case using the algorithms of splitting with respect to spatial variables, the author has managed to preserve its positive qualities. The use of the method of Runge – Kutta type, or integro-interpolation method for hyperbolic equations makes it possible to effectively carry out the generalization of methods developed for linear equations, in nonlinear case, in particular, to enforce the difference analogs of the conservation laws, which is important for shock-capturing, for example, discontinuous solutions. Based on the author's variant of the grid-characteristic method were numerically solved several important problems of seismic prospecting, seismic resistance, global seismic studies on Earth and Mars, medical applications, nondestructive testing of railway lines, the simulation of the creation and characteristics of composite materials for the aerospace industry and other areas of practical application. A significant advantage of the constructed method is the preservation of its stability and precision at the strains of the environment. This article presents the results of numerical solution based on the grid-characteristic method to the problem of modeling elastic-plastic deformation in traumatic brain injury.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.