Сухинов Александр Иванович, доктор физико-математических наук, профессор проректор по НИР и инновационной деятельности Донского государственного технического университета (ДГТУ) (РФ, 344000, г. Ростов-на-Дону, пл. Гагарина,1)
Sukhinov Aleksandr I., Dr.Sci. (Phys.-Math.), professor, vice-rector for research and innovation activities Don State Technical University (DSTU) (Russian Federation, 344000, Rostov-on-Don, Gagarin sq., 1)
Сидорякина Валентина Владимировна, кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры «Математика» Таганрогского института имени А.П. Чехова (филиал) ФГБОУ ВО Ростовского государственного экономического университета (РИНХ) (РФ, 347936, Ростовская обл., г. Таганрог, ул. Инициативная, д. 48)
Sidoriakina Valentines V., Cand.Sci. (Phys.-Math.), associate professor associate professor of the Mathematics Department Taganrog Institute named after A.P. Chekhov (filial) "Rostov State Economic University (RINH)" (Russian Federation, 347936, Rostov region, Taganrog, Initiative Str., 48)
Сухинов Андрей Александрович, аспирант Южного федерального университета (ЮФУ)(РФ, 347922, Ростовская обл., г. Таганрог, ул. Чехова, д. 22)
Sukhinov Andrei A., graduate student South Federal University (SFU) (Russian Federation, 347930, Rostov region, Taganrog, Chekhov Str. 22)
Введение. Транспорт наносов является одним из основных процессов, определяющих величины и темпы деформаций донных поверхностей водных объектов. Чаще всего прогностические исследования в этой области строятся на основе математических моделей, которые позволяют сократить, а в ряде случаев исключить дорогостоящие и опасные в экологическом отношении эксперименты. Для прогнозирования изменения рельефа дна в основном используются пространственно-одномерные модели. Для реальных прибрежных систем со сложной формой берега вектор потока наносов в общем случае не ортогонален касательной к береговой линии в каждой из ее точек. Также он может не совпадать с вектором ветровых напряжений. Поэтому для решения многих практически важных задач, связанных с прогнозированием динамики донной поверхности водоемов, необходимо применение пространственно-двумерных моделей транспорта наносов и эффективных численных методов их реализации.
Материалы и методы. Авторами (А. И. Сухинов, А. Е. Чистяков, Е. А. Проценко, В. В. Сидорякина) ранее была предложена пространственно-двумерная модель транспорта наносов, удовлетворяющая основным законам сохранения (материального баланса и импульса), которая представляет собой квазилинейное уравнение параболического типа. Были построены и исследованы линейные разностные схемы и решены модельные, а также практические задачи. Однако осталось в тени теоретическое исследование «близости» решений исходной нелинейной начально-краевой и линеаризованной непрерывной задач, на основе которой была построена дискретная модель (разностная схема). Особый интерес представляет исследование корректности линеаризованной задачи и определение достаточных условий положительности решений, т. к. только положительные решения задачи транспорта наносов имеют смысл в рамках рассматриваемых моделей.Результаты. Исследуемая нелинейная двумерная модель транспорта наносов в прибрежной зоне мелководных водоемов учитывает следующие физически значимые факторы и параметры: пористость грунта; критическое значение касательного напряжения, при котором начинается перемещение наносов; турбулентный обмен; динамически изменяемая геометрия дна; ветровые течения и трение о дно. Линеаризация осуществляется на временной сетке — нелинейные коэффициенты параболического уравнения берутся с запаздыванием на один шаг временной сетки. Далее строится цепочка взаимосвязанных по начальным условиям — финальным решениям цепочки линеаризованных смешанных задач Коши на равномерной временной сетке, и таким образом осуществляется линеаризация в целом 2D нелинейной модели. Ранее авторами были доказаны существование и единственность решения цепочки линеаризованных задач, получена априорная оценка близости решения цепочки линеаризованных задач к решению исходной нелинейной задачи. В данной работе определены условия положительности ее решений и их сходимости к решению нелинейной задачи транспорта наносов в норме Гильбертова пространства L1 со скоростью O(τ), где τ — временной шаг.Выводы. Полученные результаты исследования пространственно-двумерной нелинейной модели транспорта наносов могут быть использованы при прогнозировании нелинейных гидродинамических процессов, повышения их точности и надежности в силу наличия новых функциональных возможностей учета физически важных факторов, в том числе уточнения граничных условий.
Introduction. The sediment transportation is the one of major processes that defines the magnitude and bottom surface changing rate of water basins. The most commonly used predictable researches in this field are based on mathematical models. Modeling gives possibilities to reduce and in some cases - to eliminate expensive and often dangerous experiments. Spatially one-dimensional models have been usually used to predict changes of water bottom topography. For real water systems with complicated coastal line, the flow vector is generally not orthogonal to the tangent line for the coastline at each of its points. It also may not coincide with the wind stress vector. Therefore, it is necessary to use spatially two-dimensional models of sediment transportation and effective numerical methods to solve many practically important problems associated with the prediction of bottom surface dynamics. Materials and Methods. The spatially two-dimensional model of sediment transport that satisfies the basic conservation laws (of material balance and momentum), which is a quasilinear parabolic equation, was earlier proposed by the authors (A.I. Sukhinov, A.E. Chistyakov, E.A. Protsenko, and V.V. Sidoryakina). The linear difference schemes were constructed and researched; the model and some practically important problems were solved. However, the theoretical research of the proximity of solutions for the original nonlinear initial-boundary value problem and the linearized continuous problem, on which basis a discrete model (difference scheme) was developed, remained in the shadow. The researching correctness of the linearized problem and the determination of sufficient conditions for positivity of solutions are caused special interest because only positive solutions of this sediment transport problem have physical value within the framework of the considered models. Research Results. The investigated nonlinear two-dimensional model of sediment transport in the coastal zone of shallow water basins takes into account the following physically significant conditions and parameters: bottom material porosity; critical value of the tangent stress at which bottom material transport is started; turbulent mixing; the dynamically varying bottom geometry; wind currents; and bottom friction. Linearization is carried out on the time grid; nonlinear coefficients of the parabolic equation are taken at the previous step of time grid. Then, a set of problems, connected by the initial data, are solved; final solutions of the linearized initial boundary value problems chain on a uniform time grid were constructed, and thus, the linearization of the initial 2D nonlinear model is carried out in total time interval. Earlier, the authors proved the existence and uniqueness of the linear problem solution. A priori proximity estimates for the solutions of linearising sequence of boundary value problems and initial non-linear task have been also obtained. Conditions of its positive solution and convergence to the nonlinear sediment transport problem are defined in the norm of the Hilbert space L1 with the rate O(τ), where the τ is a time step. Discussion and Conclusions. The obtained research results of the spatially two-dimensional nonlinear sediment transport model can be used for predicting the nonlinear hydrodynamic processes, improving their accuracy and reliability due to the availability of new accounting functionality of physically important factors, including the specification of the boundary conditions.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.