vmaitComputational Mathematics and Information TechnologiesComputational Mathematics and Information Technologies2587-8999Донской государственный технический университетvmait-84Research ArticleСтатьиМатематическое моделирование колебательных процессов со свободной границейMathematical modeling of oscillatory processes with a free boundaryhttps://orcid.org/0000-0002-8323-6005ЧистяковАлександр ЕвгеньевичChistyakovAlexander Ev.

Чистяков Александр Евгеньевич, профессор кафедры «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем» Донского государственного технического университета (РФ, 344000, г. Ростов-на-Дону, пл. Гагарина, 1), доктор физико-математических наук

Chistyakov Alexander Ev., Professor, Department "Software computer engineering and automated systems", Don State Technical University (1 Gagarin sq., Rostov-on-Don, Russian Federation), Doctor of Science in Physics and Maths.

cheese_05@mail.ruhttps://orcid.org/0000-0001-6687-3216ПроценкоЕлена АнатольевнаProtsenkoElena An.

Проценко Елена Анатольевна, доцент кафедры «Математика» Таганрогского института имени А.П. Чехова (филиал) РГЭУ (РИНХ) (РФ, Ростовская область, г. Таганрог, ул. Инициативная, 48), кандидат физико-математических наук

Protsenko Elena An., Associate Professor, Mathematics Department, Taganrog Institute named after A. P. Chekhov (branch) of Rostov state University (RINE) (48 Initiative St., Taganrog, Russian Federation), Candidate of Science in Physics and Maths.

eapros@rambler.ruТимофееваЕлена ФедоровнаTimofeevaElena F.

Тимофеева Елена Федоровна, доцент кафедры «Прикладная математика и компьютерные технологии» Северо-Кавказского государственного технического университета (РФ, 355029, г. Ставрополь, просп. Кулакова, 2), кандидат физико-математических наук.

Timofeeva Elena F., Associate Professor, Department of Applied Mathematics and Computer Technology, North Caucasus State Technical University (2, Kulakov Pr., Stavropol, 355029, Russian Federation), Candidate of Science in Physics and Maths

teflena@mail.ruДонской государственный технический университет (РФ, 344000, г. Ростов-на-Дону, пл. Гагарина, 1)РоссияDon State Technical University (1 Gagarin sq., Rostov-on-Don, Russian Federation)Russian FederationТаганрогский институт имени А.П. Чехова (филиал) РГЭУ (РИНХ) (РФ, Ростовская область, г. Таганрог, ул. Инициативная, 48)РоссияTaganrog Institute named after A. P. Chekhov (branch) of Rostov state University (RINE) (48 Initiative St., Taganrog, Russian Federation)Russian FederationСеверо-Кавказский государственный технический университет (РФ, 355029, г. Ставрополь, просп. Кулакова, 2)РоссияNorth Caucasus State Technical University (2, Kulakov Pr., Stavropol, 355029, Russian Federation)Russian Federation2017290320231184Copyright © Чистяков А.Е., Проценко Е.А., Тимофеева Е.Ф., 20232023Чистяков А.Е., Проценко Е.А., Тимофеева Е.Ф.Chistyakov A.E., Protsenko E.A., Timofeeva E.F.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.cmit-journal.ru/jour/article/view/84

Введение. Статья посвящена исследованию процесса волновых колебаний и разработке комплекса программ, предназначенного для описания распространения волновых процессов. Целью настоящей работы является математическое моделирование и разработка реализующего модель, комплекса программ, предназначенного для описания распространения волновых колебаний со свободной границей на основе конечно-разностного метода.Материалы и методы. Предложена математическая модель, описывающая динамику распространения волновых колебаний, в основе которой лежит неоднородное волновое уравнение с соответствующими начальными и граничными условиями. Дискретизация модели проведена интегро-интерполяционным методом, при этом реализован подход, учитывающий частичную «заполненность» расчетных ячеек. Для решения, полученных сеточных уравнений применен адаптивный модифицированный попеременно-треугольный итерационный метод вариационного типа, имеющий наиболее высокую скорость сходимости в классе двухслойных итерационных методов.Результаты исследования. Разработаны математическая модель и программное обеспечение для численного моделирования распространения волн. Приведены результаты численных экспериментов. Разработанные численные алгоритмы и их компьютерная реализация использованы для исследования динамики распространения волновых процессов при наличии свободной границы.Обсуждение и заключения. Полученные результаты могут быть использованы в процессе исследования динамики распространения волновых процессов при наличии свободной границы, контроля при проведении экспериментальных исследований и т.д.

Introduction. The paper is devoted to research of the wave processes with free boundary based on the finite-difference method. Materials and methods. A mathematical model describing the dynamics of distribution of wave fluctuation was proposed on the basis of heterogeneous wave equation with the appropriate initial and boundary conditions. Discretization of the model was conducted using the integro-interpolation method taking into account the partial "filling" of computational cells. The adaptive modified alternating triangular iterative method of variational type with the highest rate of convergence in the class of two-layer iterative methods for solving the developed difference equations. Results. The developed discrete mathematical model for numerical simulation of wave propagation. The results of numerical experiments were obtained. The developed numerical algorithms and their computer implementation were used to research the dynamics of distribution of wave processes in the presence of the free boundary. Discussion and conclusions. The obtained results can be used for research of the dynamics of distribution of the wave processes with a free boundary and controlling in conducting experimental researches, evaluation and diagnosis, etc.

волновые колебаниясеточные уравненияадаптивный модифицированный попеременно-треугольный итерационный методwave oscillationsgrid equationsadaptive modified alternating triangular iterative methodРабота выполнена при финансовой поддержке РФФИ по проектам № 15-01-08619, № 15-07-08626.The paper was supported by RFFR project № 15-07-08626, № 15-01-08619.ReferencesMarkov, G.T., Chaplin, A.F. Excitation of electromagnetic waves. Moscow, Radio and communication, 1983, 296 p.Markov, G.T., Chaplin, A.F. Excitation of electromagnetic waves. Moscow, Radio and communication, 1983, 296 p.Vladimirov, V.S. Equations of mathematical physics. The textbook for phys. and mechanical-mathematical. spec. universities. 4-th ed. Moscow, Nauka, 1981, 512 p.Vladimirov, V.S. Equations of mathematical physics. The textbook for phys. and mechanical-mathematical. spec. universities. 4-th ed. Moscow, Nauka, 1981, 512 p.Sukhinov, A.I., Zuev, V.N., Semenisty, V.V. Equations of mathematical physics. Taganrog, TRTU, 2005.Sukhinov, A.I., Zuev, V.N., Semenisty, V.V. Equations of mathematical physics. Taganrog, TRTU, 2005.Samarskii, A.A. The Theory of Difference Schemes. Moscow, Nauka, 1989.Samarskii, A.A. The Theory of Difference Schemes. Moscow, Nauka, 1989.Samarskii, A.A., Nikolaev, E.S. Numerical Methods for Grid Equations. Moscow, Nauka, 1978.Samarskii, A.A., Nikolaev, E.S. Numerical Methods for Grid Equations. Moscow, Nauka, 1978.Sukhinov A.I., Chistyakov, A.E., Shishenya, A.V. Error estimate for diffusion equations solved by schemes with weights. Mathematical Models and Computer Simulations, 2014, vol. 6, iss. 3, pp. 324‒331.Sukhinov A.I., Chistyakov, A.E., Shishenya, A.V. Error estimate for diffusion equations solved by schemes with weights. Mathematical Models and Computer Simulations, 2014, vol. 6, iss. 3, pp. 324‒331.Sukhinov, A.I., Chistyakov, A.E., Fomenko, N.A. Method of construction difference scheme for problems of diffusion-convection reaction, takes into the degree filling of the control volume. Izvestiya SFedU, Engineering Sciences, 2013, no. 4 (141), pp. 87‒98.Sukhinov, A.I., Chistyakov, A.E., Fomenko, N.A. Method of construction difference scheme for problems of diffusion-convection reaction, takes into the degree filling of the control volume. Izvestiya SFedU, Engineering Sciences, 2013, no. 4 (141), pp. 87‒98.Konovalov, A.N. To the Theory of the Alternating Triangle Iteration Method. Sib. Math. J., 2002 no. 43, pp. 552–572.Konovalov, A.N. To the Theory of the Alternating Triangle Iteration Method. Sib. Math. J., 2002 no. 43, pp. 552–572.Sukhinov, A.I., Chistyakov, A.E., Yakobovskii, M.V. Accuracy of the numerical solution of the equations of diffusion-convection using the difference schemes of second and fourth order approximation error. Bulletin of the South Ural State University, series “Computational Mathematics and Software Engineering”, 2016, vol. 5, iss. 1, pp. 47–62.Sukhinov, A.I., Chistyakov, A.E., Yakobovskii, M.V. Accuracy of the numerical solution of the equations of diffusion-convection using the difference schemes of second and fourth order approximation error. Bulletin of the South Ural State University, series “Computational Mathematics and Software Engineering”, 2016, vol. 5, iss. 1, pp. 47–62.Sukhinov, A.I., Chistyakov, A.E. Adaptive modified alternating triangular iterative method for solving grid equations with a non-self-adjoint operator. Mathematical Models and Computer Simulations, 2012, vol. 4, iss. 4, pp. 398‒409.Sukhinov, A.I., Chistyakov, A.E. Adaptive modified alternating triangular iterative method for solving grid equations with a non-self-adjoint operator. Mathematical Models and Computer Simulations, 2012, vol. 4, iss. 4, pp. 398‒409.Sukhinov, A.I., Chistyakov, A.E., Timofeeva, E.F., Shishenya, A.V. Mathematical model for calculating coastal wave processes operator. Mathematical Models and Computer Simulations, 2013, vol. 5, iss. 2, pp 122-129.Sukhinov, A.I., Chistyakov, A.E., Timofeeva, E.F., Shishenya, A.V. Mathematical model for calculating coastal wave processes operator. Mathematical Models and Computer Simulations, 2013, vol. 5, iss. 2, pp 122-129.Sukhinov, A.I., Chistyakov, A.E., Protsenko, E.A. Two-Dimensional Mathematical Model of Sediment Transportation. Izv. Yuzhn. Federal. Univ., Tekh. Nauki, 2011, no. 8, pp. 32–44.Sukhinov, A.I., Chistyakov, A.E., Protsenko, E.A. Two-Dimensional Mathematical Model of Sediment Transportation. Izv. Yuzhn. Federal. Univ., Tekh. Nauki, 2011, no. 8, pp. 32–44.Sukhinov, A.I., Chistyakov, A.E., Protsenko, E.A. Mathematical modeling of sediment transport in coastal aquatic systems on a multiprocessor computer system. Computational methods and programming, 2014, vol. 15, pp. 610‒620.Sukhinov, A.I., Chistyakov, A.E., Protsenko, E.A. Mathematical modeling of sediment transport in coastal aquatic systems on a multiprocessor computer system. Computational methods and programming, 2014, vol. 15, pp. 610‒620.Sukhinov, A.I., Protsenko, E.A., Chistyakov, A.E., Shreter, S.A. Comparison of computational efficiencies of explicit and implicit schemes for the sediment transport problem in coastal zones. Numerical Methods and Programming, 2015, vol. 16, no. 3, pp. 328–338.Sukhinov, A.I., Protsenko, E.A., Chistyakov, A.E., Shreter, S.A. Comparison of computational efficiencies of explicit and implicit schemes for the sediment transport problem in coastal zones. Numerical Methods and Programming, 2015, vol. 16, no. 3, pp. 328–338.Nikitina, A.V., Semenyakina, A.A., Chistyakov, A.E., Protsenko, E.A., Yakovenko, I.V. Application schemes of higher order accuracy for solving biological kinetics on a multiprocessor computer system. Basic Research, 2015, no. 12-3, pp. 500‒504.Nikitina, A.V., Semenyakina, A.A., Chistyakov, A.E., Protsenko, E.A., Yakovenko, I.V. Application schemes of higher order accuracy for solving biological kinetics on a multiprocessor computer system. Basic Research, 2015, no. 12-3, pp. 500‒504.Sukhinov, A.I., Chistyakov, A.E., Protsenko, E.A. Mathematical modeling of sediment transport in the coastal zone of shallow reservoirs. Mathematical Models and Computer Simulations, 2014, vol. 6, no. 4, pp. 351‒363.Sukhinov, A.I., Chistyakov, A.E., Protsenko, E.A. Mathematical modeling of sediment transport in the coastal zone of shallow reservoirs. Mathematical Models and Computer Simulations, 2014, vol. 6, no. 4, pp. 351‒363.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.