Численное решение краевых задач с однородным линейным уравнением в частных производных модифицированным методом Бубнова-Галеркина на прямоугольнике

   Введение. Рассматривается численное решение краевой задачи с линейным однородным уравнением в частных производных эллиптического типа на прямоугольнике модифицированным методом Бубнова-Галеркина, причем неизвестная функция равна нулю в вершинах прямоугольника. К краевым задачам данного типа можно отнести задачи с уравнениями Пуассона и Лапласа второго порядка, бигармоническое уравнение четвертого порядка и т. д. В полученных алгоритмах допускаются уравнения не только с постоянными, но и с переменными коэффициентами на прямоугольнике. Численное решение краевой задачи записывается в функциональном виде, то есть в виде суммы координатных функций с неизвестным вектором коэффициентов разложения.

   Материалы и методы. В силу ортогональности предложенных алгоритмов решения задачи невязка линейного однородного уравнения ортогональна на прямоугольнике всем координатным функциям степенного вида, начиная с функции нуль индекса, тождественно равной единице. Все координатные функции имеют единичную норму Чебышева на прямоугольнике. Обратная матрица для решения системы линейных алгебраических уравнений в краевой задаче с уравнением Пуассона на прямоугольнике вычислялась библиотекой Msimsl.

   Результаты исследования. Численное решение краевой задачи с уравнением Пуассона на прямоугольнике модифицированным методом Бубнова-Галеркина показало, что равномерная норма Чебышева невязки краевой задачи имеет порядок 10−12 и сравнима с методом прогонки с пятидиагональной матрицей, в котором само уравнение аппроксимировано с восьмым порядком погрешности и с тем же числом узлов равномерной сетки. Однако время решения краевой задачи модифицированным методом Бубнова-Галеркина в 30 раз меньше времени решения этой же задачи методом пятидиагональной прогонки. Быстродействие — главное преимущество методов Бубнова-Галеркина для решения краевых задач с уравнениями в частных производных без заметной потери точности решения. Оптимальным числом является четырнадцать координатных функций в задаче.

   Обсуждение. В работе предложены алгоритм (3)–(18) для решения общей задачи с линейным однородным уравнением в частных производных произвольного порядка m и алгоритм (19)–(26) для решения уравнения Пуассона (Лапласа) на прямоугольнике модифицированным методом Бубнова-Галеркина. Отметим, что симметрия краевых условий на этапе редукции общей задачи приводит к уменьшению числа простых задач. Впервые предложена интегральная квадратурная формула на прямоугольнике для вычисления скалярного произведения двух функций с двенадцатым порядком погрешности.

   Заключение. С помощью алгоритма (28), (29) численно решены четыре примера для уравнения Пуассона на прямоугольнике, причем неизвестная функция равна нулю в вершинах прямоугольника. Построен алгоритм (5)–(19) для решения краевых задач с однородными уравнениями в частных производных эллиптического типа произвольного порядка, что показывает успешное применение модифицированного метода Бубнова-Галеркина для решения краевых задач на прямоугольнике.

1. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы : учебное пособие для студентов физико-математических специальностей высших учебных заведений. Москва: Бином. Лаборатория знаний; 2011. 636 с.

2. Бахвалов Н.С., Лапин А.В., Чижонков Е.В. Численные методы в задачах и упражнениях. Москва: БИНОМ. Лаборатория знаний; 2010. 240 с.

3. Пикулин В.П., Похожаев С.И. Практический курс по уравнениям математической физики. Москва: МЦНМО; 2004. 208 с.

4. Сухинов А.И., Проценко Е.А., Проценко С.В., Панасенко Н.Д. Параллельная численная реализация моделей волновой гидродинамики с учетом особенностей вертикального турбулентного обмена. Математическое моделирование. 2023;35(12):51–68. doi: 10.20948/mm-2023-12-04

5. Сухинов А.И., Чистяков А.Е., Никитина А.В., Атаян А.М., Литвинов В.Н. Метод решения сеточных уравнений для задач гидродинамики в плоских областях. Математическое моделирование. 2023;35(3):35–58. (In Russ.) doi: 10.20948/mm-2023-03-03

6. Сухинов А.И., Чистяков А.Е., Сидорякина В.В., Кузнецова И.И., Атаян А.М. Использование параллельных вычислений для оценки процесса переноса загрязняющих веществ в мелководных водоемах. Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2024;24(2):298–315. doi: 10.18500/1816-9791-2024-24-2-298-315

7. Сидорякина В.В., Сухинов А.И. Построение и исследование близости решений в L2 двух краевых задач для модели переноса многокомпонентных взвесей в прибрежных системах. Журнал вычислительной математики и математической физики. 2023;63(10):1721–1732. doi: 10.31857/S0044466923100149

8. Сидорякина В.В., Соломаха Д.А. Симметризованные варианты методов Зейделя и верхней релаксации решения двумерных разностных задач эллиптического типа. Computational Mathematics and Information Technologies. 2023;7(3):12–19. doi: 10.23947/2587-8999-2023-7-3-12-19

9. Бурова И.Г., Алцыбеев Г.О. Применение сплайновых аппроксимаций второго порядка к решению интегральных уравнений второго рода. Вычислительные методы и программирование. 2025;26(2):175–191. doi: 10.26089/NumMet.v26r213

10. Чернышев А.Д., Горяйнов В.В., Кузнецов С.В., Никифорова О.Ю. Применение быстрых разложений для построения точных решений задачи о прогибе прямоугольной мембраны под действием переменной нагрузки. Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2021;70:127–142. doi: 10.17223/19988621/70/11

11. Волосова Н.К., Волосов К.А., Волосова А.К., Пастухов Д.Ф., Пастухов Ю.Ф. Модифицированный метод Бубнова-Галеркина для решения краевых задач с линейным обыкновенным дифференциальным уравнением. Computational Mathematics and Information Technologies. 2024;8(3):23–33. doi: 10.23947/2587-8999-2024-8-3-23-33

12. Волосова Н.К., Волосов К.А., Волосова А.К., Пастухов Д.Ф., Пастухов Ю.Ф. Увеличение точности решения краевых задач с линейными обыкновенными дифференциальными уравнениями методом Бубнова-Галеркина. Computational Mathematics and Information Technologies. 2024;8(4):7–18. doi: 10.23947/2587-8999-2024-8-4-7-18

13. Волосова Н.К., Волосов К.А., Волосова А.К., Пастухов Д.Ф., Пастухов Ю.Ф. Решение краевых задач для некоторых нелинейных дифференциальных уравнений методом Бубнова-Галеркина. Computational Mathematics and Information Technologies. 2025;9(1):7–19. doi: 10.23947/2587-8999-2025-9-1-7-19

14. Пастухов Д.Ф., Пастухов Ю.Ф. Аппроксимация уравнения Пуассона на прямоугольнике повышенной точности. Вестник Полоцкого государственного университета. Серия С. Фундаментальные науки. 2017;12: 62–77.