Симметризованные варианты методов Зейделя и верхней релаксации решения двумерных разностных задач эллиптического типа

Введение. Данная статья посвящена рассмотрению вариантов симметризации двухслойных неявных итерационных методов для решения сеточных уравнений, возникающих при аппроксимации краевых задач для двумерных уравнений эллиптического типа. Данные уравнения входят в постановки многих задач гидродинамики, гидробиологии водных систем и др. Сеточные уравнения для данных задач характеризуются большим количеством неизвестных — от 10⁶ до 10¹⁰, что приводит к плохой обусловленности соответствующей системы алгебраических уравнений и, как следствие, к существенному росту числа итераций, необходимых для достижения заданной точности. В статье рассмотрен метод снижения числа итераций для относительно простых методов решения сеточных уравнений (метода Зейделя и верхней релаксации).

Материалы и методы. Рассматриваемые в статье методы решения сеточных уравнений базируются на процедуре симметризованного обхода по строками (или столбцами) сеточной области.

Результаты исследования. Выполнены численные эксперименты для модельной задачи — разностной задачи Дирихле для уравнения Пуассона, которые демонстрируют сокращение числа итераций по сравнению с базовыми алгоритмами данных методов.

Обсуждениe и заключения. Данная работа имеет практическую значимость. Разработанное программное средство позволяет его использовать для решения конкретных физических задач, в том числе как элемента программного комплекса.

1. Meligy Sh.A., Youssef I.K. Relaxation parameters and composite refinement techniques. Results in Applied Mathematics. 2022;15(1):100282. https://doi.org/10.1016/j.rinam.2022.100282

2. Weiss R., Podgajezki I., Hafner H., et al. Iterative methods for solving systems of linear equations, from the past to the future. Matematicheskoe modelirovanie. 2001;13(2):39–50.

3. Saw B.C., Man S., Bairagi A., et al. Gauss-Seidel and Sor Methods for Solving Intuitionistic Fuzzy System of Linear Equations. Computer Sciences & Mathematics. 2023;7(1):47. https://doi.org/10.3390/IOCMA2023-14437

4. Allahviraloo T. Successive over relaxation iterative method for fuzzy system of linear equations. Applied Mathematics and Computation. 200;162(1):189–196. https://doi.org/10.1016/j.amc.2003.12.085

5. Самарский A.A., Николаев E.С. Методы решения сеточных уравнений. Mосква: Наука; 1978. 592 с.

6. Sidoryakina V.V. Efficient algorithms for the numerical solution of the coupled sediment and suspended matter transport problems in coastal systems. In: Proceedings of the 21st International Workshop on Computer Science and Information Technologies (CSIT 2019) Series: Atlantis Highlights in Computer Sciences. 2019;(3):243–248. https://doi.org/10.2991/csit-19.2019.42

7. Sukhinov A.I., Sukhinov A.A., Sidoryakina V.V. Uniqueness of solving the problem of transport and sedimentation of multicomponent suspensions in coastal systems structures. Journal of Physics: Conference Series. 2020;1479(1):012081. https://doi.org/10.1088/1742-6596/1479/1/012081

8. Sukhinov A.I., Sidoryakina V.V. About correctness of the suspension transport and sedimentation model, taking into account bottom relief changes. Computational Mathematics and Information Technologies Electronic Journal. 2018;2(2):76–90. https://doi.org/10.23947/2587-8999-2018-2-76-90

9. Сидорякина В.В., Сухинов А.И. Исследование корректности и численная реализация линеаризованной двумерной задачи транспорта наносов. Журнал вычислительной математики и математической физики. 2017;57(6):985–1002. https://doi.org/10.7868/S0044466917060138