Введение. Сейсмическая разведка является широко применяемой технологией поиска месторождений углеводородов. Важным этапом данного процесса является расчёт распространения сейсмических волн в геологической модели среды с заданными физическими характеристиками. Ввиду высокой вычислительной сложности задачи на практике активно используется акустическое приближение, позволяющее корректно описать распространение продольных волн. Наиболее часто для сейсмического моделирования используются конечно-разностные схемы на сдвинутых кубических расчётных сетках. Несмотря на простоту их реализации и высокую вычислительную эффективность, такие подходы демонстрируют недостаточную точность при моделировании сложных геологических структур, включая криволинейные границы раздела геологических слоёв. Перспективным направлением является разработка новых вычислительных методов высокого порядка точности на криволинейных расчётных сетках. В настоящей работе представлен устойчивый сеточно-характеристический метод пятого порядка аппроксимации, успешно применённый для решения задачи о распространении акустических волн в двумерной постановке.

Материалы и методы. Используется сеточно-характеристический метод с интерполяционным полиномом пятой степени, построенном на расширенном пространственном шаблоне. Выделен класс криволинейных сеток, позволяющий сохранить достигнутую при решении одномерной задачи точность расчёта. При этом с помощью метода многошагового расщепления удается сохранить порядок схемы по времени и по пространству в многомерной постановке.

Результаты исследования. Представлены формулы вычислительного алгоритма, эмпирически подтверждено достижение заявленного порядка сходимости, рассчитаны волновые картины динамического процесса.

Обсуждение. Результаты расчётов демонстрируют меньшую численную диссипацию предложенного вычислительного алгоритма. Платой за это является значимое увеличение времени расчёта.

Заключение. Разработанный расчётный алгоритм обеспечивает высокую точность расчёта сейсмических фронтов, что критически важно в задачах сейсморазведки в слоистых геологических массивах.

Введение. Рассматривается разностная схема, аппроксимирующая краевую задачу для уравнения параболического типа в трехмерной постановке с условиями на границе I–III рода. Данная статья является дополнением к предыдущим работам авторов, посвященным численному решению одной из актуальных задач гидрофизики зон морского мелководья — задаче переноса, осаждения (транспорта) и трансформации взвешенного вещества. Аппроксимация указанного класса задач внутри области приводит к схемам, сходящимся со скоростью O(τ + h²), где h² = h²_x + h²_y + h²_z, h_x, h_y, h_z и τ – шаги разностной сетки по пространственным координатам x, y, z и времени соответственно. При этом требует аккуратного рассмотрения случай граничных условий, поскольку при неудачной их аппроксимации может понизиться порядок аппроксимации разностной схемы в целом. Предложенные авторами методы аппроксимации граничных условий обеспечивают сходимость разностной схемы со скоростью O(τ + h²).

Материалы и методы. В своих исследованиях авторами сделан акцент на аппроксимации граничных условий третьего рода (аппроксимация граничных условий второго рода рассматривается как их частный случай). Ориентиром служит аппроксимация указанных граничных условий по формуле центральных разностей с последующим дифференцированием обеих частей уравнений диффузии-конвекции и исключением из полученных выражений функций решения в фиктивных узлах расширенной сетки.

Результаты исследования. Построены аппроксимации граничных условий II–III рода для краевой задачи, описывающей транспорт частиц взвешенного вещества, обеспечивающие сходимость разностной схемы со скоростью O(τ + h²).

Обсуждение. Работа может быть полезна в задачах диффузии-конвекции, где необходимо добиться численного решения с приемлемой точностью.

Заключение. Дальнейшие исследования авторов могут быть направлены на исследование построенных разностных схем с учетом физически мотивированных ограничений на шаг временной сетки τ и сеточное число Пекле.

Введение. Численно решается двумерная гидродинамическая задача в переменных «функция тока – вихрь» в открытой прямоугольной каверне, моделирующей течение крови в аневризме кровеносного сосуда. Предложены два алгоритма решения задачи для чисел Рейнольдса Re < 1 и для чисел Re ≥ 1.

Материалы и методы. Для ускорения численного решения задачи с явной разностной схемой уравнения динамики вихря использовался метод торможения начальных условий, метод n-кратного расщепления явной разностной схемы (n = 100, 200) и наличие плоскости симметрии прямоугольной области каверны – аневризмы. В методе расщепления используется максимальный шаг времени, пропорциональный квадрату координатного шага без нарушения спектральной устойчивости явной схемы в уравнении вихря. На половине прямоугольной аневризмы рассматривались симметричные решения и применялась равномерная сетка 100 × 50 с равным шагом h₁ = h₂ = 0,01. Обратная матрица для решения уравнения Пуассона в переменных «функция тока – вихрь» за конечное число элементарных операций вычислялась библиотекой Msimsl.

Результаты исследования. Численное решение задачи показало, что число и расположение областей циркуляции крови в аневризме при небольших числах Рейнольдса зависят от параметра отношения диаметра сосуда к диаметру аневризмы. Именно при небольшом значении этого параметра аневризму занимает один большой вихрь и сужает просвет сосуда в случае образования тромба внутри аневризмы. Сужение диаметра трубки тока крови внутри аневризмы достигает 34 %. Обнаружено, что формирование гидродинамической структуры в аневризме происходит за время, малое (0,002 %) по сравнению с периодом между пульсационными волнами (1с). Впервые предложено краевое условие с четвертым порядком погрешности для связи скорости, вихря и функции тока.

Обсуждение. Аппроксимация уравнений в системах (4) и (22) имеет шестой порядок погрешности во внутренних и четвертый в граничных узлах. Задача решена также для движения крови в артериях при больших числах Рейнольдса (Re = 1500). Ее решение показывает, что в плоскости симметрии аневризмы образуется цепочка связанных вихрей с чередованием знака функции вихря и сносимых кровью вдоль кровеносного сосуда.

Заключение. Сформулированные в работе начально-краевые задачи (4), (22) позволят качественно моделировать движение крови в аневризмах капилляров, артериол и артерий кровеносных сосудов при малых и больших скоростях, а также движение крови в элементах медицинского оборудования.

Введение. Мелководные прибрежные зоны представляют собой высокодинамичные природные системы, в которых протекают сложные гидродинамические процессы, обусловленные взаимодействием приливных явлений, ветрового воздействия и особенностей рельефа дна. Для их надежного прогнозирования и оценки связанных с ними экологических и техногенных рисков необходимы численные модели повышенной точности. Однако традиционные методы, основанные на использовании равномерных расчетных сеток, характеризуются чрезмерными вычислительными затратами, что существенно ограничивает их применение в задачах оперативного прогнозирования. В этой связи перспективным направлением является использование адаптивных сеточных методов, позволяющих сосредотачивать расчетное разрешение в динамически значимых областях и одновременно снижать общую вычислительную нагрузку.

Материалы и методы. Разработана численная модель, основанная на двумерных уравнениях мелкой воды в постановке с усреднением по глубине. В качестве расчетного алгоритма применена конечно-объемная схема второго порядка точности с ТВD-лимитированием, реализованная на динамически адаптируемой сетке типа квадродерева. Критерием для локального уточнения сетки служат градиенты уровня свободной поверхности и скорости течений, что обеспечивает детальную аппроксимацию в зонах интенсивной динамики, включая приливные фронты и области со сложной батиметрией. Для оценки эффективности метода проведены три численных эксперимента: моделирование гармонического прилива, ветрового штормового нагона и их комбинированного воздействия.

Результаты исследования. Численные эксперименты показали устойчивую работу алгоритмов осушения и затопления, погрешность сохранения массы не превышала 0,06 %. Качественные характеристики модели подтверждаются значениями метрик RMSE ≤ 0,07 м и NSE ≥ 0,90. Сравнение с расчетами на равномерной сетке аналогичного минимального шага показало, что применение адаптивного уточнения (AMR) позволяет сократить среднее число расчетных ячеек примерно на 32 % и уменьшить машинное время в 1,5 раза при увеличении нормы погрешности L₂ менее чем на 3,5 %.

Обсуждение. Полученные результаты свидетельствуют о том, что использование адаптивных сеточных методов обеспечивает сохранение физической достоверности при значительном снижении вычислительных затрат. Это делает предложенный подход эффективным инструментом для высокоточного моделирования и прогноза гидродинамических процессов в прибрежных зонах, в том числе для оценки и предотвращения последствий опасных гидрометеорологических явлений.

Заключение. В дальнейшем предполагается развитие модели в направлении трехмерных расчетов и интеграции с методами ассимиляции данных, что позволит использовать ее для оперативных прогнозов в реальном времени.

Введение. В последнее время быстро развивается область математики, специализирующаяся на применении искусственных нейронных сетей. В настоящей работе предложен новый метод построения нейронной сети для решения волновых дифференциальных уравнений. Этот метод особенно эффективен при решении краевых задач для областей сложной геометрической формы.

Материалы и методы. Предлагается метод построения нейронной сети, предназначенной для решения волнового уравнения для плоской области G, ограниченной произвольной замкнутой кривой. Предполагается, что граничные условия являются периодическими функциями времени t. Рассматривается установившийся режим. При построении нейронной сети в качестве активационных функций принимаются производные от сингулярных решений уравнения Гельмгольца. Сингулярные точки этих решений равномерно распределены по замкнутым кривым, охватывающим границу области. В качестве обучающего множества используется множество частных решений уравнения Гельмгольца.

Результаты исследования. Получены результаты решения первой краевой задачи для различных областей сложной геометрической формы и граничных условий. Результаты представлены в виде таблиц, содержащих точные решения задачи и решения, полученные с помощью нейронной сети. Дано графическое представление точного решения и решения, полученного построенной нейронной сетью.

Обсуждение. Представленные результаты расчетов показали эффективность предложенного метода построения нейронных сетей, решающих краевые задачи дифференциальных уравнений в частных производных для областей сложной геометрической формы.

Заключение. Дальнейшее развитие разработанного автором метода может быть применено к решению краевых задач для волнового уравнения, для решения внешних задач. Особенный интерес представляет применение этого метода к задачам дифракции.