Математическое моделирование береговой линии Черного моря с учетом ее фрактальной структуры и построение сеток

Введение. Береговая линия водоема представляет собой сложный природный объект, геометрия которого проявляет нерегулярность и признаки самоподобия, а длина зависит от масштаба измерения. Несмотря на широкое изучение её фрактальных свойств, переход к цифровому представлению береговой линии представляет собой комплексную процедуру и является актуальной темой исследования. В настоящей работе описана созданная математико-алгоритмическая схема анализа береговой линии, включающая валидацию геометрии, геодезическое измерение, анализ масштабной зависимости, оценку фрактальной размерности и выбор адаптивной четырёхугольной сетки на примере Чёрного моря. Материалы и методы. Для береговой линии, представленной конечной последовательностью географических точек, проводятся процедуры нормализации и валидации, что позволяет получить промежуточный геометрически правдоподобный контур. Длина контура вычисляется на сфере с использованием формулы гаверсинуса. Для работы с многомасштабностью и фрактальными характеристиками береговой линии применяется метод «подсчета ящиков». Для перехода от линии к 2D-представлению акватории применяется равноплощадная проекция Lambert azimuthal equal-area (LAEA), а затем строится поле требуемого размера ячейки. Далее строятся подробные и укрупненные полноквадратные сетки с помощью генераторов Delaunay, Frontal-Delaunay for Quads и Packing of Parallelograms. Производится сравнение генераторов сеток. Результаты исследования. Проведен вычислительный эксперимент на данных береговой линии Чёрного моря. Сравнение двух наборов сеток показало, что лучшим генератором по заданному многокритериальному показателю является Delaunay. Для сохранения существенных береговых особенностей на масштабе всей акватории следует использовать Delaunay с диапазоном 125–250 м. Подробный Delaunay с диапазоном 50–250 м следует выбирать, когда в приоритете точность восстановления рельефа дна. Обсуждение. Практическая значимость работы состоит в возможности подготовки верифицированных контуров и сеток для моделирования рельефа дна, геоинформационного анализа и последующих гидродинамических расчётов. Заключение. Перспективы дальнейших исследований связаны с расширением класса анализируемых береговых систем, сопоставлением различных методов оценки фрактальной размерности, исследованием влияния пространственного разрешения исходных геоданных на устойчивость вычисляемых метрик, а также с адаптацией подхода к задачам многомасштабного мониторинга береговой динамики.

1. Mandelbrot B.B. The Fractal Geometry of Nature. New York: W.H. Freeman; 1982. 460 p.

2. Falconer K. Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications. Chichester: John Wiley & Sons; 2003. 337 p. https://doi.org/10.1002/0470013850

3. Snyder J.P. Map Projections: A Working Manual. Washington: U.S. Geological Survey; 1987. 283 p. https://doi.org/10.3133/pp1395

4. Bomford G. Geodesy. 4th ed. Oxford: Clarendon Press; 1980. 663 p.

5. Longley P.A., Goodchild M.F., Maguire D.J., Rhind D.W. Geographical Information Systems and Science. 3rd ed. Chichester: Wiley; 2011. 612 p.

6. Marine Regions. Standardized marine georeferenced database. URL: https://marineregions.org/ (дата обращения: 09.04.2026).

7. De Berg M., Cheong O., van Kreveld M., Overmars M. Computational Geometry: Algorithms and Applications. 3rd ed. Berlin: Springer; 2008. 386 p. https://doi.org/10.1007/978-3-540-77974-2

8. O’Rourke J. Computational Geometry in C. 2nd ed. Cambridge: Cambridge University Press; 1998. 362 p. https://doi.org/10.1017/CBO9780511804120

9. Preparata F.P., Shamos M.I. Computational Geometry: An Introduction. New York: Springer; 1985. 400 p. https://doi.org/10.1007/978-1-4612-1098-6

10. Richardson L.F. The problem of contiguity: an appendix to statistics of deadly quarrels. General Systems Yearbook. 1961;6:139–187.

11. Geuzaine C., Remacle J.-F. Gmsh: a three-dimensional finite element mesh generator with built-in pre- and post-processing facilities. International Journal for Numerical Methods in Engineering. 2009;79(11):1309–1331. https://doi.org/10.1002/nme.2579

12. GEBCO Compilation Group. GEBCO 2024 Grid. 2024. https://doi.org/10.5285/1c44ce99-0a0d-5f4f-e063-7086abc0ea0f

13. Knupp P.M. Algebraic mesh quality metrics for unstructured initial meshes. Finite Elements in Analysis and Design. 2003;39(3):217–241. https://doi.org/10.1016/S0168-874X(02)00070-7

14. Karperien A., Jelinek H. F. Box-Counting Fractal Analysis: A Primer for the Clinician. In: The Fractal Geometry of the Brain. New York: Springer, 2024. https://doi.org/10.1007/978-3-031-47606-8_2

15. Jiang B., Brandt S.A. A fractal perspective on scale in geography. International Journal of Geographical Information Science. 2016;30(1): 17–30. https://doi.org/10.1080/13658816.2015.1082532

16. Press W.H., Teukolsky S.A., Vetterling W.T., Flannery B.P. Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing. 3rd ed. Cambridge: Cambridge University Press; 2007. 994 с.

17. Самарский А.А. Теория разностных схем. Москва: Наука; 1989. 616 с. Samarskii A.A. Theory of Difference Schemes. Moscow: Nauka; 1989. 616 p.

18. Калиткин Н.Н. Численные методы. 2-е изд., испр. СПб.: БХВ-Петербург; 2011. 586 с. Kalitkin N.N. Numerical Methods. 2nd ed., revised. St. Petersburg: BHV-Peterburg; 2011. 586 p.

19. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. М.: Наука; 1989. 432 с. Samarskii A.A., Gulin A.V. Numerical Methods. Moscow: Nauka; 1989. 432 p.

20. Quarteroni A., Sacco R., Saleri F. Numerical Mathematics. 2nd ed. New York: Springer; 2007. 654 p. https://doi.org/10.1007/b98885

21. Burden R.L., Faires J.D. Numerical Analysis. 9th ed. Boston: Brooks/Cole; 2011. 872 p.

22. Atkinson K.E. An Introduction to Numerical Analysis. New York: John Wiley & Sons; 1989. 23. Hofmann-Wellenhof B., Moritz H.Physical Geodesy.Wien; New York: Springer; 2005. 403 p.https://doi.org/10.1007/b139113

23. Li Z., Zhu Q., Gold C. Digital Terrain Modeling: Principles and Methodology. Boca Raton: CRC Press; 2005. 448 p. https://doi.org/10.1201/9780203357132