Двумерные схемы расщепления для гиперболических уравнений

В статье рассмотрены схемы расщепления по геометрическим направлениям, аппроксимирующие начально-краевую задачу для p-мерного (p≥3 ) уравнения гиперболического типа цепочкой двумерных-одномерных задач. Рассматриваются два способа построения схем расщепления – с оператором, факторизованном на верхнем слое, алгебраически эквивалентные схеме переменных направлений и аддитивные схемы суммарной аппроксимации. Для первой схемы ограничения на форму области G при p=3 могут быть ослаблены по сравнению со схемами переменных направлений, представляющими собой цепочку трехточечных задач на верхнем временном слое – область G может быть связным объединением цилиндрических областей с образующими, параллельными оси OX₃. Во втором случае для трехмерного уравнения гиперболического типа построена аддитивная схема, представляющая собой цепочку «двумерная задача – одномерная задача» и аппроксимирующая исходную задачу в суммарном смысле (на целых временных шагах). Доказаны устойчивость и сходимость построенных схем: со скоростью O(ǁhǁ²+τ²) – факторизованной и со скоростью O(ǁhǁ²+τ) – аддитивной, где ǁhǁ– норма шага пространственной сетки, τ – шаг по времени, при соответствующих ограничениях на гладкость функций, входящих в постановку начально-краевой задачи. Для численной реализации построенных схем – численного решения двумерных эллиптических задач - можно применять быстрые прямые методы, базирующиеся на Фурье-алгоритме, методах циклической редукции для трехточечных векторных уравнений, комбинациях данных методов и других методах. Предлагаемые двумерные схемы расщепления в ряде случаев оказываются более экономичными в смысле суммарных временных затрат, включающих время выполнение вычислений и обменов информацией между процессорами по сравнению с традиционными схемами расщепления, базирующимися на применении трехточечных разностных задач для многопроцессорных вычислительных систем, с различными структурами связей между процессорами — типа «линейка», «матрица», «куб», с универсальной коммутацией.

1. A.A. Samarskiy. Introduction to the theory of difference schemes. M. Nauka, 1971, 552 p.

2. A. N. Konovalov. Method of fractional steps for solving the Cauchy problem for the multidimensional equation of oscillations, DAN USSR 147. No. 1, 1962, pp. 25-27.

3. G.I. Marchuk. Splitting and Alternating Direction Methods // Handbook of Numerical Analysis. Amsterdam, North-Holland, 1990, Vol. 1, pp. 197-464.

4. A.A. Samarskiy, P.N. Vabishchevich, P.P. Matus. Difference schemes with operator factors. Minsk.-1998-442 p.

5. A.I. Sukhinov. Locally two-dimensional schemes for solving multidimensional parabolic equations on matrix-type computing systems. Proceedings of higher educational institutions. Maths. 1984. No. 11. pp. 45-53.

6. A.I. Sukhinov. Additive schemes for modeling three-dimensional equations of heat conduction in cylindrical and spherical coordinates Differential Equations. 1987. Vol. 23. No. 12, pp. 2122-2132.

7. A.I. Sukhinov, V.S. Vasiliev Local-two-dimensional schemes for approximating the three-dimensional heat equation in toroidal coordinates Proceedings of higher educational institutions. Maths. 1996. No. 3. pp. 58-67.

8. E.S. Nikolaev. Methods for Solving Grid Equations), Moscow: MAKS Press, 2018, 424 p.

9. A.I. Sukhinov. Parallel algorithms based on two-dimensional splitting schemes for multidimensional parabolic equations // Parallel Computational Fluid Dynamics, Proceedings of the Parallel CFD 2002 Conference, Kansai Science City, Japan, (May 20-22, 2002) ELSEVIER, 2003, pp. 345-352.

10. A.I. Sukhinov. Two-dimensional splitting schemes and some of their applications. M. MAKS Press, 2005. 408 p.