Введение. В задачах вычислительной математики вариационные методы минимизации дискретных энергий широко применяются для регуляризации некорректных задач. Однако стандартные дискретные схемы зачастую обладают масштабной несогласованностью: при измельчении сетки (h→0) веса, зависящие от ненормированных скачков функции, вырождаются, что приводит к тривиализации анизотропных свойств предельного оператора. В данной работе предложен вычислительный метод, решающий эту проблему за счет параметризации распределения Дирихле и строго обоснованной анизотропной пространственной регуляризации.

   Материалы и методы. Математическая модель формулируется как задача оптимизации составного функционала в пространстве сеточных функций. Функционал включает ожидаемую логарифмическую функцию потерь, регуляризацию Кульбака-Лейблера и пространственные регуляризаторы типа взвешенной энергии Дирихле. Для обеспечения структурной состоятельности дискретного оператора edge-aware весовые функции конструируются строго через нормированные конечные разности. Асимптотическое поведение дискретных энергий исследуется с помощью аппарата сходимости.

   Результаты исследования. Главным теоретическим результатом работы является математическое доказательство Γ-сходимости семейства дискретных анизотропных функционалов к нетривиальному непрерывному пределу в топологии L²(Ω). Доказана равнокоэрцитивность дискретных энергий, гарантирующая сходимость последовательности почти минимизаторов к решению непрерывной задачи.

   Обсуждение. Использование нормированных конечных разностей при построении весов восстанавливает размерную однородность и обеспечивает строгую масштабную инвариантность дискретизации нелокальных операторов.

   Заключение. Предложенный метод успешно связывает непрерывные вариационные постановки с дискретными предиктивными моделями, предоставляя теоретически обоснованный и вычислительно эффективный (дополнительные расходы инференса составляют 17–18 %) инструмент с контролируемой погрешностью.

   Введение. Рассматривается численное решение краевой задачи с линейным однородным уравнением в частных производных эллиптического типа на прямоугольнике модифицированным методом Бубнова-Галеркина, причем неизвестная функция равна нулю в вершинах прямоугольника. К краевым задачам данного типа можно отнести задачи с уравнениями Пуассона и Лапласа второго порядка, бигармоническое уравнение четвертого порядка и т. д. В полученных алгоритмах допускаются уравнения не только с постоянными, но и с переменными коэффициентами на прямоугольнике. Численное решение краевой задачи записывается в функциональном виде, то есть в виде суммы координатных функций с неизвестным вектором коэффициентов разложения.

   Материалы и методы. В силу ортогональности предложенных алгоритмов решения задачи невязка линейного однородного уравнения ортогональна на прямоугольнике всем координатным функциям степенного вида, начиная с функции нуль индекса, тождественно равной единице. Все координатные функции имеют единичную норму Чебышева на прямоугольнике. Обратная матрица для решения системы линейных алгебраических уравнений в краевой задаче с уравнением Пуассона на прямоугольнике вычислялась библиотекой Msimsl.

   Результаты исследования. Численное решение краевой задачи с уравнением Пуассона на прямоугольнике модифицированным методом Бубнова-Галеркина показало, что равномерная норма Чебышева невязки краевой задачи имеет порядок 10−12 и сравнима с методом прогонки с пятидиагональной матрицей, в котором само уравнение аппроксимировано с восьмым порядком погрешности и с тем же числом узлов равномерной сетки. Однако время решения краевой задачи модифицированным методом Бубнова-Галеркина в 30 раз меньше времени решения этой же задачи методом пятидиагональной прогонки. Быстродействие — главное преимущество методов Бубнова-Галеркина для решения краевых задач с уравнениями в частных производных без заметной потери точности решения. Оптимальным числом является четырнадцать координатных функций в задаче.

   Обсуждение. В работе предложены алгоритм (3)–(18) для решения общей задачи с линейным однородным уравнением в частных производных произвольного порядка m и алгоритм (19)–(26) для решения уравнения Пуассона (Лапласа) на прямоугольнике модифицированным методом Бубнова-Галеркина. Отметим, что симметрия краевых условий на этапе редукции общей задачи приводит к уменьшению числа простых задач. Впервые предложена интегральная квадратурная формула на прямоугольнике для вычисления скалярного произведения двух функций с двенадцатым порядком погрешности.

   Заключение. С помощью алгоритма (28), (29) численно решены четыре примера для уравнения Пуассона на прямоугольнике, причем неизвестная функция равна нулю в вершинах прямоугольника. Построен алгоритм (5)–(19) для решения краевых задач с однородными уравнениями в частных производных эллиптического типа произвольного порядка, что показывает успешное применение модифицированного метода Бубнова-Галеркина для решения краевых задач на прямоугольнике.

   Введение. Турбулентное перемешивание в стратифицированных мелководных водоёмах играет ключевую роль в формировании гидрофизической структуры, определяя перенос импульса, тепла и растворённых веществ. Несмотря на развитие моделей турбулентности, существующие параметризации недостаточно точно воспроизводят вертикально-неоднородную структуру турбулентного обмена, особенно в условиях сложной термохалинной стратификации и нестационарных течений.

   Материалы и методы. В работе использованы натурные данные, полученные в ходе экспедиционных исследований в Азовском море и Таганрогском заливе. Измерения температуры, солёности и плотности выполнялись с использованием CTD-зонда Sea-Bird Electronics SBE 19plus, а трёхмерные компоненты скорости — с помощью акустического доплеровского профилографа ADCP Workhorse Sentinel 600. На основе полученных данных рассчитывались вертикальные градиенты плотности и скорости, пульсационные характеристики течений, а также параметры устойчивости стратификации. Разработана полуэмпирическая параметризация коэффициентов турбулентной вязкости и диффузии, учитывающая сдвиговые характеристики потока, число Ричардсона и пульсации вертикальной скорости.

   Результаты исследования. Предложена новая параметризация вертикально-неоднородного турбулентного обмена, основанная на использовании синхронных натурных данных. Показано, что включение пульсационных характеристик скорости и термохалинных градиентов позволяет адекватно учитывать локальные механизмы генерации и подавления турбулентности. Проведено сравнение с классическими моделями (k–ε, k–ω, модель Смагоринского), продемонстрировавшее улучшение точности воспроизведения вертикальных профилей скорости и плотности. Снижение среднеквадратической ошибки составляет до 30–40 %, а значения коэффициента Нэша-Сатклиффа превышают 0,8.

   Обсуждение. Установлено, что предложенная параметризация более точно описывает вертикальную структуру турбулентного обмена за счёт прямого использования измеряемых характеристик среды. В отличие от традиционных моделей, она обеспечивает выраженную вертикальную неоднородность коэффициентов обмена и корректно воспроизводит зоны стратификации. Ограничения подхода связаны с зависимостью от качества натурных данных и отсутствием явного учёта нестационарных и волновых процессов.

   Заключение. Разработана и реализована полуэмпирическая параметризация турбулентного обмена, основанная на натурных данных высокого разрешения. Показано её преимущество по сравнению с классическими моделями при моделировании стратифицированных течений. Полученные результаты могут быть использованы в гидродинамических моделях для повышения точности прогноза турбулентного перемешивания и транспорта примесей в мелководных морских бассейнах.

   Введение. В настоящее время при решении многих задач используются методы, основанные на применении искусственных нейронных сетей. Эти методы отличаются простотой в применении и достаточно универсальными возможностями. Нейронные сети различной архитектуры достаточно часто применяются к решениям задач аппроксимации функций нескольких переменных. Разработанные методы построения подобных нейронных сетей применяются при решении актуальных задач в математике, технике, экономике.

   Материалы и методы. Предлагается метод построения нейронной сети для решения задач аппроксимации функций, основанный на применении в качестве функций активации дробно-линейных функций. Описывается алгоритм построения нейронных сетей для аппроксимации функций одной и двух переменных. Отдельно рассматривается случай, когда значения аппроксимируемой функции заданы с погрешностью. Исследуется возможность использования данного подхода при экстраполяции функций.

   Результаты исследования. Представлены результаты построения нейронных сетей аппроксимации функций одной и двух переменных и применения построенных сетей в виде графиков. Предложенный метод был использован при решении задач экстраполяции, задач аппроксимации функций, значения которых заданы с погрешностью.

   Обсуждение. Метод показал хорошие результаты при решении указанных задач. В качестве функций активации были использованы дробно-рациональные функции дельтообразного поведения. Поэтому определение весов нейронной сети свелось к решению систем линейных уравнений с хорошо обусловленными матрицами, что обеспечило достаточно высокую степень точности результатов аппроксимации.

   Заключение. Представленные результаты доказали эффективность метода. Предложенный метод построения нейронных сетей может быть использован при решении задач, связанных с цифровой обработкой сигналов.

   Введение. Обнаружение разливов нефти на спутниковых изображениях представляет собой значительную проблему из-за низкого визуального контраста между нефтяными пятнами и морским фоном, особенно при изменяющихся условиях освещения и шумах датчиков. Традиционные подходы обычно преобразуют RGB-изображения в оттенки серого перед анализом текстуры, отбрасывая данные о длине волны, критически важные для различения типов и толщины нефти. В настоящей работе предложен новый подход к обработке каждого канала Local Binary Pattern (LBP) с архитектурой Pypamid Scene Parsing Network (PSPNet), который обрабатывает каждый RGB-канал независимо, сохраняя спектрально-текстурные характеристики, необходимые для точной идентификации нефтяных разливов.

   Материалы и методы. Модифицированный подход сохраняет три параллельных потока LBP, которые фиксируют текстурные паттерны, специфичные для каждого канала, и объединяются с исходным RGB-входом для формирования шестиканального тензора при обработке глубоким обучением. Обучение включает комплексные стратегии увеличения шума, имитирующие реальные условия дистанционного зондирования.

   Результаты исследования. Экспериментальная проверка показывает, что данный подход достигает среднего значения пересечения по объединению (mIoU) 86,05 % на тестовом наборе данных, что представляет собой улучшение на 3,25 % по сравнению с традиционными реализациями LBP в оттенках серого. Критически важно, что представленная модель демонстрирует исключительную устойчивость к шуму по сравнению с моделями, основанными на традиционных подходах.

   Обсуждение. Стратегия обработки по каналам эффективно отличает тонкие нефтяные пленки от явлений, похожих на разливы (блики солнца на поверхности воды, ветровое волнение).

   Заключение. Полученные в работе результаты вносят вклад в разработку систем оперативного мониторинга нефтяных разливов, требующих надежной работы в различных природных условиях и сценариях съемки.

   Введение. Предложен итеративный геометро-комбинаторный подход к конструированию фракталов с кубической симметрией — кубофракталов, адаптированный для их последующей реализации. Установлена связь введенных кубофракталов с аттракторами нестационарных систем итерированных функций. Изучены два примера кубофракталов, определены аттракторы соответствующих систем итерированных функций и вычислены размерности Хаусдорфа. В прикладной физике и материаловедении фрактальные модели могут успешно использоваться для описания иерархической структуры новых материалов. При этом идеальное самоподобие на всех масштабах не может наблюдаться в реальных системах. Когда речь идет о синтезе фракталоподобных структур, зачастую можно выделить минимальный масштаб и базовые элементы структуры, которые комбинируются на более высоких иерархических уровнях. В данной работе авторы используют именно этот подход для построения кубофракталов.

   Материалы и методы. Предложенный подход близок к построению фракталов с помощью L-систем, однако даже простые правила компоновки кубов, которые рассматривали авторы, требуют контексто-зависимых правил. В работе установлена связь между рассматриваемыми алгоритмами генерации и нестационарным обобщением систем итерированных функций. Таким образом, исследование предельных переходов от предфракталов к фракталам проводится в рамках теории сжимающих отображений. Соответствующие нестационарные системы итерированных функций реализованы в Wolfram Mathematica (в приложении приводится код для генерации и визуализации кубофракталов).

   Результаты исследования. Показана адекватность и простота алгоритма генерации кубофракталов с точки зрения создания соответствующих структур. Установлена связь с математическим аппаратом нестационарных систем итерированных функций. Изучены варианты правил генерации кубофракталов и выделены различные классы получающихся структур. Исследованы поточечные пределы итераций кубофракталов и предельный переход по метрике Хаусдорфа. Показано, что, выбирая последовательность a_n+1 с заданной скоростью роста и ее разбиение на Ra_n и ∆_n, можно управлять мерой итераций и хаусдорфовой размерностью предела. Для двух базовых примеров кубофракталов с последовательностями a_n = n∙2^n-1 + 2, n > 0 (кубосикстер) и a_n = 1+8∙5^n-2, n >1 вычислены фрактальные размерности, равные 1 и ln3/ln5 соответственно. Рассмотрены обратные траектории нестационарных систем итерированных функций и предложен подход к изучению их аттракторов.

   Обсуждение. Кубофракталы могут стать удобным подходом к генерации фрактальных структур для приложений и, кроме того, они существенно обогащают теорию нестационарных систем итерированных функций нетривиальными примерами.

   Заключение. Предельное множество кубосикстера есть просто отрезок [0;1], в то время как мера конечных итераций, которые приближаются к отрезку в смысле метрики Хаусдорфа, стремится к нулю. Можно предположить, что и другие физические свойства итераций (масса, прочность, пористость и т. д.) будут различаться в поточечном пределе и в пределе в смысле метрики Хаусдорфа. В связи с этим именно предфракталы для кубосикстера представляют исследовательский интерес в приложениях.