Разностная схема с улучшенной аппроксимацией на границе для уравнения теплопроводности с граничными условиями третьего рода

Введение. Построение разностных схем, их исследование и модификация с учетом специфики рассматриваемой задачи позволяет повысить точность моделирования сложных систем. При моделировании различных процессов, включая гидродинамические процессы в мелководных водоемах, было отмечено, что при решении задач с граничными условиями третьего рода теоретическая оценка порядка погрешности аппроксимации падает со второго порядка погрешности относительно пространственных шагов расчетной сетки до первого порядка, а, следовательно, падает и точность численного решения задачи. Настоящая работа посвящена актуальной проблеме исследования влияния аппроксимации граничных условий третьего рода на точность численного решения задачи теплопроводности, а также построению разностной схемы с улучшенной аппроксимацией граничных условий для уравнения теплопроводности с граничными условиями третьего рода и сравнению точности численных решений, полученных авторами, с известными решениями.
Материалы и методы. Рассматривается уравнение теплопроводности с граничными условиями третьего рода, для которого получено аналитическое решение. Проведена аппроксимация рассмотренной задачи и показано, что при стандартной аппроксимации задачи на границе расчетной области теоретическая оценка порядка погрешности аппроксимации дифференциального оператора второго порядка в уравнении диффузии составляет O(h). Для повышения точности численного решения в случае граничных условий третьего рода специального вида предложена разностная схема, имеющая погрешность аппроксимации дифференциального оператора второго порядка O(h2), как во внутренних, так и в граничных узлах расчетной области.
Результаты исследования. На тестовых задачах проведено сравнение точности численных решений, полученных на основе предлагаемой схемы и схемы со стандартной аппроксимацией границы.
Обсуждение и заключение. Из проведенных численных экспериментов видно, что предложенная схема с улучшенной аппроксимацией на границе расчетной области для уравнения теплопроводности при граничных условиях третьего рода специального вида имеет эффективный порядок точности около 2, что соответствует полученной теоретической оценке. При этом стоит отметить, что разностная схема со стандартной аппроксимацией на границе расчетной области также имеет эффективный порядок точности, близкий к 2, несмотря на полученную теоретическую оценку порядка погрешности аппроксимации для граничных узлов. Важно отметить, что для предложенной схемы расчетная погрешность численного решения падает существенно быстрее, чем для решения на основе схемы со стандартной аппроксимацией на границе.

1. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. 7-е изд. Москва: Наука; 2004. 798 с.

2. Cannon J.R. The one-dimensional heat equation (Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, vol. 23). Cambridge: Addison-Wesley Publishing Company/Cambridge University Press; 1984. XXV + 483 p.

3. Evans L.C. Partial differential equations. American Mathematical Society; 1998. 662 p.

4. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. Москва: Наука; 1989. 432 с.

5. Crank J., Nicolson P. A practical method for numerical evaluation of solutions of partial differential equations of the heat-conduction type. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 1947;43(1):50–67. https://doi.org/10.1017/S0305004100023197

6. Сметанников О.Ю. Оптимизация остаточного прогиба круглой пластинки из стеклующегося полимера при неравномерном охлаждении. Вычислительная механика сплошных сред. 2010;3(1):81–92. https://doi.org/10.7242/1999-6691/2010.3.1.9

7. Гужев Д.С., Калиткин Н.Н. Уравнение Бюргерса — тест для численных методов. Математическое моделирование. 1995;7(4):99–127.

8. Марков В.В., Утесинов В.Н. Разностная схема численного решения уравнения Бюргерса. Журнал вычислительной математики и математической физики. 2020;60(12):2050–2054. https://doi.org/10.31857/S0044466920120108

9. Ковыркина О.А., Остапенко В.В. О точности разностных схем при расчете центрированных волн разрежения. Математическое моделирование. 2023;35(7):83–96. https://doi.org/10.20948/mm-2023-07-06

10. Аристова Е.Н., Рогов Б.В., Чикиткин А.В. Оптимальная монотонизация высокоточной бикомпактной схемы для нестационарного многомерного уравнения переноса. Журнал вычислительной математики и математической физики. 2016;56(6):973–988. https://doi.org/10.7868/S004446691606003X

11. Сухинов А.И., Кузнецова И.Ю., Чистяков А.Е., Проценко Е.А., Белова Ю.В. Исследование точности и применимости разностной схемы для решения задачи диффузии-конвекции при больших сеточных числах Пекле. Вычислительная механика сплошных сред. 2020;13(4):437–448. https://doi.org/10.7242/1999-6691/2020.13.4.34

12. Сухинов А.И., Чистяков А.Е., Сидорякина В.В., Кузнецова И.Ю., Атаян А.М. Использование параллельных вычислений для оценки процесса переноса загрязняющих веществ в мелководных водоемах. Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2024;24(2):298–315. https://doi.org/10.18500/1816-9791-2024-24-2-298-315

13. Афанасьева Н.М., Вабищевич П.Н. Устойчивые разностные схемы для некоторых параболических уравнений. Журнал вычислительной математики и математической физики. 2014;54(7):1186–1193. https://doi.org/10.7868/S0044466914040036

14. Вабищевич П.Н. Монотонные схемы для задач конвекции-диффузии с конвективным переносом в различной форме. Журнал вычислительной математики и математической физики. 2021;61(1):95–107. https://doi.org/10.31857/S0044466920120157

15. Chetverushkin B.N., Gulin A.V. Explicit schemes and numerical simulation using ultrahigh-performance computer systems. Doklady Mathematics. 2012;86(2):681–683. https://doi.org/10.1134/S1064562412050213

16. Четверушкин Б.Н., Ольховская О.Г., Гасилов В.А. Явная схема для решения нелинейного уравнения теплопроводности. Математическое моделирование. 2022;34(12):3–19. https://doi.org/10.20948/mm-2022-12-01

17. Криксин Ю.А., Тишкин В.Ф. Энтропийная регуляризация разрывного метода Галеркина для двумерных уравнений Эйлера в триангулированных областях. Математическое моделирование. 2023;35(3):3–19. https://doi.org/10.20948/mm-2024-04-05

18. Ладонкина М.Е., Неклюдова О.А., Остапенко В.В., Тишкин В.Ф. О точности разрывного метода Галеркина при расчете газодинамических ударных волн. Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления. 2023;510(1):43–51. https://doi.org/10.31857/S268695432360009X

19. Сухинов А.И., Чистяков А.Е., Кузнецова И.Ю., Атаян А.М., Никитина А.В. Регуляризованная разностная схема для решения задач гидродинамики. Математическое моделирование. 2022;34(2):85–100. https://doi.org/10.20948/mm-2022-02-07

20. Chistyakov A.E., Nikitina, A.V., Kuznetsova I.Yu., Rakhimbaeva E.O., Porksheyan M.V. Investigation of the approximation error of the difference scheme for the mathematical model of hydrodynamics. Lobachevskii Journal of Mathematics. 2023;44(5):1839–1846. https://doi.org/10.1134/S1995080223050128

21. Голубев В.И., Шевченко А.В., Петров И.Б. Повышение порядка точности сеточно-характеристического метода для задач двумерной линейной упругости с помощью схем операторного расщепления. Компьютерные исследования и моделирование. 2022;14(4):899–910. https://doi.org/10.20537/2076-7633-2022-14-4-899-910

22. Васюков А.В., Петров И.Б. Повышение порядка аппроксимации расчетов волновых процессов в композитном образце при использовании неструктурированной расчетной сетки. Прикладная механика и техническая физика. 2024;65(3):152–160. https://doi.org/10.15372/PMTF202315400

23. Bobreneva Yu.O., Poveshchenko Yu., PodrygaV.O., Polyakov S.V., Uzyunbaev R.M., Rahimly P.I. et al. One approach to numerical modeling of the heat and mass transfers of two-phase fluids in fractured-porous reservoirs. Mathematics. 2023;11(18):3991. https://doi.org/10.3390/math11183991

24. Васильев В.И., Васильева М.В., Гладких В.С., Ильин В.П., Никифоров Д.Я., Перевозкин Д.В. и др. Численное решение задачи фильтрации в трещиноватой среде с использованием декомпозиции областей. Сибирский журнал индустриальной математики. 2018;21(4):15–27. https://doi.org/10.17377/sibjim.2018.21.402

25. Узянбаев Р.М., Бобренева Ю.О., Повещенко Ю.А., Подрыга В.О., Поляков С.В., Губайдуллин И.М. Численное моделирование пьезопроводных процессов в двумерной постановке для коллектора трещиновато-порового типа. Препринты Института прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН. 2024;35:1–17. https://doi.org/10.20948/prepr-2024-35

26. Литвинов В.Н., Чистяков А.Е., Никитина А.В., Атаян А.М., Кузнецова И.Ю. Математическое моделирование гидродинамических процессов Азовского моря на многопроцессорной вычислительной системе. Компьютерные исследования и моделирование. 2024;16(3):647–672. https://doi.org/10.20537/2076-7633-2024-16-3-647-672

27. Сухинов А.И., Кузнецова И.Ю. Математическая модель транспорта трехкомпонентной взвеси. Computational Mathematics and Information Technologies. 2023;7(3):39–48. https://doi.org/10.23947/2587-8999-2023-7-3-39-48

28. Попов И.В. Построение разностной схемы повышенного порядка аппроксимации для нелинейного уравнения переноса с использованием адаптивной искусственной вязкости. Препринты Института прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН. 2017;68:1–22. https://doi.org/10.20948/prepr-2017-68