Сравнение решений гидродинамической задачи в прямоугольной каверне методами торможения и разгона начального поля скорости

Введение. Исследуется численное решение двумерной гидродинамической задачи в прямоугольной каверне методом торможения и методом разгона начальных условий в переменных «функция тока — вихрь». Метод торможения применялся при числах Рейнольдса Re ≤ 3000, а метод разгона при числах Re = 8000.
Материалы и методы. Для ускорения численного решения задачи с явной разностной схемой уравнения динамики вихря использовался метод торможения начальных условий и метод n-кратного расщепления явной разностной схемы (n = 100). Метод торможения начальных условий поля скорости по сравнению с методом разгона неподвижной жидкости позволил сократить время счета задачи в 57 раз. Метод расщепления использовал максимальный шаг времени, пропорциональный квадрату координатного шага, не нарушая при этом спектральной устойчивости явной схемы в уравнении вихря. Наибольшее время программа затратила на решение уравнения Пуассона с переменными «функция тока — вихрь». Используя замороженное поле скоростей и решая только динамическое уравнение вихря, было сокращено время счета в методе расщепления. Обратная матрица для решения уравнения Пуассона за конечное число элементарных операций вычислялась библиотекой Msimsl.
Результаты исследования. Численное решение задачи показало эквивалентность методов торможения и разгона начального поля скорости при небольших числах Рейнольдса (до 3000). Численно доказана эквивалентность решения гидродинамической задачи алгоритмом в переменных «функция тока — вихрь» и алгоритмом с неявным полилинейным рекуррентным методом в случае разгона начальных условий. Впервые предложено начальное горизонтальное поле скорости, гладкое во внутренних точках и состоящее из двух синусоид с неподвижным центром масс всей жидкости в прямоугольной каверне.
Обсуждение и заключение. Предложен алгоритм численного решения двухмерной гидродинамической задачи в прямоугольной каверне в переменных «функция тока — вихрь». Аппроксимация уравнений в системе (1) имеет шестой порядок погрешности во внутренних узлах и четвертый в граничных узлах. Впервые предложен метод торможения с начальным полем горизонтальной скорости посредством гладкого соединения двух синусоид. Предложенные алгоритмы позволяют более эффективно решать задачи гидродинамики с явной разностной схемой уравнения вихря

1. Salih A. Streamfunction — Vorticity Formulation. Department of Aerospace Engineering Indian Institute of Space Science and Technology, Thiruvananthapuram; 2013:10 p.

2. Фомин А.А., Фомина Л.Н. Неявный итерационный полилинейный рекуррентный метод в применении к решению задач динамики несжимаемой жидкости. Компьютерные исследования и моделирование. 2015;7(1):35–50.

3. Петров А.Г. Высокоточные численные схемы решения плоских краевых задач для полигармонического уравнения и их применение к задачам гидродинамики. Прикладная математика и механика. 2023;87(3):343–368. https://doi.org/10.31857/S0032823523030128

4. Сухинов А.И., Колгунова О.В., Гирмай М.З., Нахом О.С. Двумерная гидродинамическая модель прибрежных систем, учитывающая испарение. Computational Mathematics and Information Technologies. 2023;7(4):9–21. https://doi.org/10.23947/2587-8999-2023-7-4-9-21

5. Волосова Н.К., Волосов К.А., Волосова А.К., Пастухов Д.Ф., Пастухов Ю.Ф., Басараб М.А. Сборник статей по гидродинамике, 2-е издание. Москва: Московский государственный университет путей сообщения Императора Николая II; 2023. 231 с.

6. Ершова Т.Я. Краевая задача для дифференциального уравнения третьего порядка с сильным пограничным слоем. Вестник Московского университета. Серия 15: Вычислительная математика и кибернетика. 2020;1:30–39. https://doi.org/10.3103/S0278641920010057

7. Ситникова М.А., Скульский О.И. Течение моментной анизотропной жидкости в тонких слоях. Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика. 2015;28(1):56–62.

8. Волосов К.А., Вдовина Е.К., Пугина Л.В. Моделирование «пульсирубщих» режимов динамики свёртывания крови. Математическое моделирование. 2014;26(12):14–32.

9. Бузмакова, М.М., Гилев В.Г., Русаков С.В. Экспериментальное исследование реокинетики эпоксидного связующего, модифицированного фуллеренами C60. Вестник Пермского университета. Физика. 2019;2:35–40. https://doi.org/10.17072/1994-3598-2019-2-35-40

10. Сидорякина В.В., Соломаха Д.А. Симметризованные варианты методов Зейделя и верхней релаксации решения двумерных разностных задач эллиптического типа. Computational Mathematics and Information Technologies. 2023;7(3):12–19. https://doi.org/10.23947/2587-8999-2023-7-3-12-19

11. Волосова Н.К., Волосов К.А., Волосова А.К., Карлов М.И., Пастухов Д.Ф., Пастухов Ю.Ф. N-кратное расщепление явной разностной схемы для уравнения вихря в вязкой несжимаемой жидкости. Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика. 2023;63(4):12–21. https://doi.org/10.17072/1993-0550-2023-4-12-21

12. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы: учебное пособие для студентов физико-математических специальностей высших учебных заведений. Москва: Бином. Лаборатория знаний; 2011. 636 с.

13. Kuhlmann H.C., Romano F. The Lid-Driven cavety. In book: Gelfgat A. (ed.) Computational Modelling of Bifurcations and Instabilities in Fluid Dynamics. Computational Methods in Applied Sciences. Springer, Cham. 2018;50:233‒309. https://doi.org/10.1007/978-3-319-91494-7_8

14. Сперанская А.А. Пограничные слои в геофизической гидродинамике: диссертация доктора физико-математических наук. Москва; 1982. 345 с.