Исследование влияния движения границ на колебательные и резонансные свойства механических систем переменной длины

Введение. Широкое распространение в технике объектов с движущимися границами обусловливает необходимость развития методов математического моделирования и создания алгоритмического программного обеспечения для соответствующего анализа. Настоящая работа представляет собой систематизированный обзор материалов, в которых исследуются колебательные и резонансные свойства механических систем с движущимися границами, таких как канаты подъемных устройств, гибкие передаточные механизмы, струны, стержни, балки переменной длины и т. д.
Материалы и методы. Сформулирована постановка и разработаны численные методы решения нелинейных задач, описывающих волновые процессы и резонансные свойства объектов с движущимися границами.
Результаты исследования. Проведен анализ отражения волн от движущихся границ, включая изменение их энергии и частоты. Показано, что энергия системы возрастает при движении границы навстречу волнам и убывает при совпадении направлений. Получены критерии, определяющие условия, при которых необходимо учитывать движение границ для корректного расчета амплитуд колебаний. Численные результаты демонстрируют влияние скорости движения границ и демпфирования на динамику системы.
Обсуждение и заключение. Результаты работы имеют практическое значение для проектирования и эксплуатации механических систем с переменной геометрией. Приведенные результаты позволяют на стадии проектирования предотвратить возможность возникновения колебаний большой амплитуды в механических объектах с движущимися границами. Данные задачи мало изучены и требуют дальнейшего исследования

1. Колосов Л.B., Жигула Т.И. Продольно-поперечные колебания струны каната подъемной установки. Известия вузов. Горный журнал. 1981;3:83–86.

2. Zhu W.D., Chen Y. Theoretical and experimental investigation of elevator cable dynamics and control. J. Vibr. Acoust. 2006;1:66–78.

3. Shi Y., Wu L., Wang Y. Nonlinear analysis of natural frequencies of a cable system. J. Vibr. Eng. 2006;2:173–178.

4. Горошко О.А., Савин Г.Н. Введение в механику деформируемых одномерных тел переменной длины. Киев: Наукова думка; 1971. 290 с.

5. Анисимов В.Н., Литвинов В.Л. Поперечные колебания каната, движущегося в продольном направлении. Известия Самарского научного центра Российской академии наук. 2017;19(4):161–165.

6. Савин Г.Н., Горошко О.А. Динамика нити переменной длины. Киев: Наукова думка; 1962. 332 с.

7. Liu Z., Chen G. Analysis of plane nonlinear free vibrations of a load-bearing rope taking into account the influence of bending stiffness. J. Vibr. Eng. 2007;1:57–60.

8. Palm J., Paredes G.M., Eskilsson C., Pinto F. Simulation of mooring cable dynamics using a discontinuous Galerkin method. In International Conference on Computational Methods in Marine Engineering, 2013.

9. Литвинов В.Л. Исследование свободных колебаний механических объектов с движущимися границами при помощи асимптотического метода. Журнал Средневолжского математического общества. 2014;16(1):83–88.

10. Анисимов В.Н., Литвинов В.Л. Математическое моделирование и исследование колебаний одномерных механических систем с движущимися границами. Самара: Самарский государственный технический университет; 2017. 149 с.

11. Уварова Л.А., Федянин В.К. Математическая модель теплопереноса в существенно нелинейных сопряженных средах. Математическое моделирование. 1990;2(6):40–54.

12. Кудинов В.А., Кудинов И.В. Методы решения параболических и гиперболических уравнений теплопроводности. Москва: Книжный дом «Либроком»; 2012. 280 с.

13. Сухинов А.И., Чистяков А.Е., Никитина А.В., Атаян А.М., Литвинов В.Н. Метод решения сеточных уравнений для задач гидродинамики в плоских областях. Математическое моделирование. 2023;35(3):35–58. https://doi.org/10.20948/mm-2023-03-03

14. Sukhinov A., Sidoryakina V. Two-dimensional-one-dimensional alternating direction schemes for coastal systems convection-diffusion problems. Mathematics. 2021;9(24):3267. https://doi.org/10.3390/math9243267

15. Атаян А.М., Никитина А.В., Сухинов А.И., Чистяков А.Е. Математическое моделирование опасных явлений природного характера в мелководном водоеме. Журнал вычислительной математики и математической физики. 2022;62(2):269–286. https://doi.org/10.31857/S0044466921120048

16. Весницкий А.И. Волны в системах с движущимися границами и нагрузками. Москва: Физматлит; 2001. 320 с.

17. Анисимов В.Н., Литвинов В.Л., Корпен И.В. Об одном методе получения аналитического решения волнового уравнения, описывающего колебания систем с движущимися границами. Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки». 2012;3(28):145–151.

18. Весницкий А.И. Обратная задача для одномерного резонатора, изменяющего во времени свои размеры. Известия вузов. Радиофизика. 1971;10:1538–1542.

19. Барсуков К.А., Григорян Г.А. К теории волновода с подвижными границами. Известия вузов. Радиофизика. 1976;2:280–285.

20. Wang L., Zhao Y. Multiple internal resonances and non-planar dynamics of shallow suspended cables to the harmonic excitations. Journal of Sound and Vibration. 2009;1–2:1–14.

21. Самарин Ю.П. Об одной нелинейной задаче для волнового уравнения в одномерном пространстве. Прикладная математика и механика. 1964;26(3):77–80.

22. Анисимов В.Н., Корпен И.В., Литвинов В.Л. Применение метода Канторовича-Галеркина для решения краевых задач с условиями на движущихся границах. Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. 2018;2:70–77.

23. Литвинов В.Л., Литвинова К.В. Приближенный метод решения краевых задач с подвижными границами путем сведения к интегро-дифференциальным уравнениям. Журнал вычислительной математики и математической физики. 2022;62(6):977–986.

24. Литвинов В.Л., Анисимов В.Н. Исследование закономерностей отражения волн от движущихся границ. В: Труды шестой Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи». Самара: издательство СамГТУ; 2009. С. 39–43.

25. Литвинов В.Л. Исследование взаимодействия продольных волн с движущейся границей. В: Сборник статей III Всероссийской конференции-семинара «Научно-техническое творчество: проблемы и перспективы». Самара: издательство СамГТУ; 2008. С. 31–36.

26. Литвинов В.Л. Учет влияния демпфирующих сил на резонансные свойства струны с движущейся границей. В: Сборник статей V Юбилейной Всероссийской конференции-семинара «Научно-техническое творчество: проблемы и перспективы». Самара: издательство СамГТУ; 2010. С. 79–80.

27. Литвинов В.Л. Автоматизированный программный комплекс для исследования колебаний и резонансных явлений в механических системах с движущимися границами «TB-Analysis-7». Свидетельство о гос. регистрации программы для ЭВМ, № 2025613649. 2025. 17 с.

28. Литвинов В.Л. Вариационная постановка задачи о колебаниях балки с подвижной подпружиненной опорой. Теоретическая и математическая физика. 2023;215(2):709–715. https://doi.org/10.1134/S0040577923050094

29. Литвинов В.Л., Литвинова К.В. Об одном обратном методе решения задач о колебаниях механических систем с движущимися границами. Вестник Московского Университета. Серия 1: Математика. Механика. 2024;3:53–59. https://doi.org/10.3103/S0027133024700122

30. Sandilo S.H., Horssen W.T. van. On variable length induced vibrations of a vertical string. Journal of Sound and Vibration. 2014;333:2432–2449.

31. Zhang W., Tang Y. Global dynamics of the cable under combined parametrical and external excitations. International Journal of Non-Linear Mechanics. 2002;37:505–526.

32. Faravelli L., Fuggini C., Ubertini F. Toward a hybrid control solution for cable dynamics: Theoretical prediction and experimental validation. Struct. Control Health Monit. 2010;17:386–403.

33. Лежнева А.А. Свободные изгибные колебания балки переменной длины. Ученые записки. 1966;156:143–150.

34. Selivanova N.Yu., Shamolin M.V. Local solvability of a one-phase problem with free boundary. Journal of Mathematical Sciences. 2013;189(2):274–283.

35. Selivanova N.Yu., Shamolin M.V. Studying the interphase zone in a certain singular-limit problem. Journal of Mathematical Sciences. 2013;189(2):284–293.

36. Selivanova N.Yu., Shamolin M.V. Local solvability of the Capillary problem. Journal of Mathematical Sciences. 2013;189(2):294–300.

37. Selivanova N.Yu., Shamolin M.V. Quasi-stationary Stefan problem with values on the front depending on its geometry. Journal of Mathematical Sciences. 2013;189(2):301–310