Применение нейронных сетей при решении эллиптических уравнений для областей сложной формы

Введение. При построении моделей в различных областях науки и техники часто используют дифференциальные уравнения. В настоящее время при решении дифференциальных уравнений все чаще применяются нейронные сети. В данной работе предложен оригинальный метод построения нейронной сети для решения эллиптических дифференциальных уравнений. Этот метод применяется при решении краевых задач для областей сложной геометрической формы.
Материалы и методы. Предлагается метод построения нейронной сети, предназначенной для решения дифференциальных уравнений в частных производных эллиптического типа. Используя замену неизвестной функции, исходная задача сводится к уравнению Лапласа. Таким образом, рассматривались нелинейные дифференциальные уравнения. При построении нейронной сети в качестве активационных функций принимаются производные от сингулярных решений уравнения Лапласа. Сингулярные точки этих решений распределены по замкнутым кривым, охватывающим границу области. При настройке весов сети минимизировалась среднеквадратическая ошибка обучения.
Результаты исследования. Представлены результаты решения первой краевой задачи для различных областей сложной геометрической формы. Результаты представлены в виде таблиц, содержащих точные решения задачи и решения, полученные с помощью нейронной сети. Дано графическое представление точного решения и решение, полученное предложенным методом.
Обсуждение и заключение. Полученные результаты доказали эффективность предложенного метода построения нейронной сети при решении различных видов дифференциальных уравнений в частных производных эллиптического типа. Данный метод может эффективно применяться при решении других типов дифференциальных уравнений с частными производными

1. Колмогоров А.Н. О представлении непрерывных функций нескольких переменных в виде суперпозиций непрерывных функций одного переменного и сложения. Доклады Академии наук СССР. 1957;114(5):953–956.

2. Маргасов О.А. О нейронных обыкновенных дифференциальных уравнениях и их вероятностном расширении. Известия Коми научного центра УрО РАН. Серия «Физико-математические науки». 2021;6(52):14–19. https://doi.org/10.19110/1994-5655-2021-6-14-19

3. Варшавчик Е.А., Галяутдинова А.Р., Седова Ю.С., Тархов Д.А. Решение дифференциальных уравнений в частных производных для областей с постоянными границами. B: Труды 3-й Всероссийской научно-практической конференции «Искусственный интеллект в решении актуальных социальных и экономических проблем ХХI века». Пермь: издательство Пермского государственного национального исследовательского университета; 2018. C. 294.

4. Тюрин К.А., Брагунец В.В., Светлов Д.Д. Решение дифференциального уравнения Лапласа с помощью модифицированной нейронной сети. Молодой ученый. 2019;27(265):10–12.

5. Епифанов А.А. Применение методов глубокого обучения для решения дифференциальных уравнений в частных производных. Успехи кибернетики. 2020;1(4):22–28. https://doi.org/10.51790/2712-9942-2020-1-4-3

6. Коваленко А.Н., Черноморец А.А., Петина М.А. О применении нейронных сетей для решения дифференциальных уравнений в частных производных. Научные ведомости. Серия Экономика. Информатика. 2017;9(258):103–110.

7. Kansa E.J. Motivation for using radial basis functions to solve PDEs. URL: http://uahtitan.uah.edu/kansaweb.html (дата обращения: 13.04.2025)

8. Kansa E.J. Multiquadrics. A scattered data approximation scheme with applications to computational fluiddynamics. II. Solutions to parabolic, hyperbolic and elliptic partial differential equations. Comput. Math. Appl. 1990;19(89):147–161.

9. Almajid M. Abu-Alsaud M. Prediction of porous media fluid flow using physics informed neural networks. Journal of Petroleum Science and Engineering. 2021;208:109205. https://doi.org/10.1016/j.petrol.2021.109205

10. Eivazi H.,Tahani M., Schlatter P., Vinuesa R. Physics-informed neural networks for solving Reynolds-averaged Navier-Stokes equations. Physics of Fluids. 2022;34(7):075117. https://doi.org/10.1063/5.0095270

11. Chen J., Viquerat J., Hachem E. U-net Architectures for Fast Prediction of Incompressible Laminar Flows. URL: https://arxiv.org/pdf/1910.13532.pdf (дата обращения: 13.04.2025)

12. Raissia M., Perdikaris P., Karniadakis G.E. Physics-informed neural networks: A deep learning framework for solving forward and inverse problems involving nonlinear partial differential equations. Journal of Computational Physics. 2019;378:686‒707.

13. Зрелова Д.П., Ульянов С.В. Модели физически информированных осведомленных классических Лагранжевых Гамильтоновых нейронных сетей в глубоком обучении. Современные информационные технологии и ИТ-образование. 2022;18(2):310–325. https://doi.org/10.25559/SITITO.18.202202.310-325

14. Cai S., Wang Z., Wang S., Perdikaris P., Karniadakis G.E. Physics-informed neural networks for heat transfer problems. Journal of Heat Transfer. 2021;143(6):60‒80. https://doi.org/10.1115/1.4050542

15. Галабурдин А.В. Применение нейронных сетей для решения задачи Дирихле для областей сложной формы. Computational Mathematics and Information Technologies. 2024;8(2):68‒79. https://doi.org/10.23947/2587-8999-2024-8-2-68-79

16. Галабурдин А.В. Применение нейронных сетей для решения нелинейных краевых задач для областей сложной формы. Computational Mathematics and Information Technologies. 2024;8(4):35‒42. https://doi.org/10.23947/2587-8999-2024-8-4-35-42