Моделирование циркуляции в аневризмах кровеносных сосудов

Введение. Численно решается двумерная гидродинамическая задача в переменных «функция тока – вихрь» в открытой прямоугольной каверне, моделирующей течение крови в аневризме кровеносного сосуда. Предложены два алгоритма решения задачи для чисел Рейнольдса Re < 1 и для чисел Re ≥ 1.

Материалы и методы. Для ускорения численного решения задачи с явной разностной схемой уравнения динамики вихря использовался метод торможения начальных условий, метод n-кратного расщепления явной разностной схемы (n = 100, 200) и наличие плоскости симметрии прямоугольной области каверны – аневризмы. В методе расщепления используется максимальный шаг времени, пропорциональный квадрату координатного шага без нарушения спектральной устойчивости явной схемы в уравнении вихря. На половине прямоугольной аневризмы рассматривались симметричные решения и применялась равномерная сетка 100 × 50 с равным шагом h₁ = h₂ = 0,01. Обратная матрица для решения уравнения Пуассона в переменных «функция тока – вихрь» за конечное число элементарных операций вычислялась библиотекой Msimsl.

Результаты исследования. Численное решение задачи показало, что число и расположение областей циркуляции крови в аневризме при небольших числах Рейнольдса зависят от параметра отношения диаметра сосуда к диаметру аневризмы. Именно при небольшом значении этого параметра аневризму занимает один большой вихрь и сужает просвет сосуда в случае образования тромба внутри аневризмы. Сужение диаметра трубки тока крови внутри аневризмы достигает 34 %. Обнаружено, что формирование гидродинамической структуры в аневризме происходит за время, малое (0,002 %) по сравнению с периодом между пульсационными волнами (1с). Впервые предложено краевое условие с четвертым порядком погрешности для связи скорости, вихря и функции тока.

Обсуждение. Аппроксимация уравнений в системах (4) и (22) имеет шестой порядок погрешности во внутренних и четвертый в граничных узлах. Задача решена также для движения крови в артериях при больших числах Рейнольдса (Re = 1500). Ее решение показывает, что в плоскости симметрии аневризмы образуется цепочка связанных вихрей с чередованием знака функции вихря и сносимых кровью вдоль кровеносного сосуда.

Заключение. Сформулированные в работе начально-краевые задачи (4), (22) позволят качественно моделировать движение крови в аневризмах капилляров, артериол и артерий кровеносных сосудов при малых и больших скоростях, а также движение крови в элементах медицинского оборудования.

1. Salih A. Streamfunction — Vorticity Formulation. Department of Aerospace Engineering Indian Institute of Space Science and Technology. 2013;10:1–10.

2. Волосова Н.К., Волосов К.А., Волосова А.К., Карлов М.И., Пастухов Д.Ф., Пастухов Ю.Ф. Сравнение решений гидродинамической задачи в прямоугольной каверне методами торможения и разгона начального поля скорости. Computational Mathematics and Information Technologies. 2025;9(2):22–33. https://doi.org/10.23947/2587-8999-2025-9-2-22-33

3. Петров А.Г. Высокоточные численные схемы решения плоских краевых задач для полигармонического уравнения и их применение к задачам гидродинамики. Прикладная математика и механика. 2023;87(3):343–368. https://doi.org/10.31857/S0032823523030128

4. Сухинов А.И., Колгунова О.В., Гирмай М.З., Нахом О.С. Двумерная гидродинамическая модель прибрежных систем, учитывающая испарение. Computational Mathematics and Information Technologies. 2023;7(4):9–21. https://doi.org/10.23947/2587-8999-2023-7-4-9-21

5. Ершова Т.Я. Краевая задача для дифференциального уравнения третьего порядка с сильным пограничным слоем. Вестник Московского университета. Серия 15: Вычислительная математика и кибернетика. 2020;1:30–39. https://doi.org/10.3103/S0278641920010057

6. Ситникова М.А., Скульский О.И. Течение моментной анизотропной жидкости в тонких слоях. Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика. 2015;28(1):56–62.

7. Волосов К.А., Вдовина Е.К., Пугина Л.В. Моделирование «пульсирубщих» режимов динамики свёртывания крови. Математическое моделирование. 2014;26(12):14–32.

8. Сидорякина В.В., Соломаха Д.А. Симметризованные варианты методов Зейделя и верхней релаксации решения двумерных разностных задач эллиптического типа. Computational Mathematics and Information Technologies. 2023;7(3):12–19. https://doi.org/10.23947/2587-8999-2023-7-3-12-19

9. Волосова Н.К., Волосов К.А., Волосова А.К., Карлов М.И., Пастухов Д.Ф., Пастухов Ю.Ф. N-кратное расщепление явной разностной схемы для уравнения вихря в вязкой несжимаемой жидкости. Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика. 2023;63(4):12–21. https://doi.org/10.17072/1993-0550-2023-4-12-21

10. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы: учебное пособие для студентов физико-математических специальностей высших учебных заведений. Москва: Бином. Лаборатория знаний; 2011. 636 с.