Семантическая сегментация с оценкой неопределённости на основе модели Дирихле и анизотропной регуляризации

   Введение. В задачах вычислительной математики вариационные методы минимизации дискретных энергий широко применяются для регуляризации некорректных задач. Однако стандартные дискретные схемы зачастую обладают масштабной несогласованностью: при измельчении сетки (h→0) веса, зависящие от ненормированных скачков функции, вырождаются, что приводит к тривиализации анизотропных свойств предельного оператора. В данной работе предложен вычислительный метод, решающий эту проблему за счет параметризации распределения Дирихле и строго обоснованной анизотропной пространственной регуляризации.

   Материалы и методы. Математическая модель формулируется как задача оптимизации составного функционала в пространстве сеточных функций. Функционал включает ожидаемую логарифмическую функцию потерь, регуляризацию Кульбака-Лейблера и пространственные регуляризаторы типа взвешенной энергии Дирихле. Для обеспечения структурной состоятельности дискретного оператора edge-aware весовые функции конструируются строго через нормированные конечные разности. Асимптотическое поведение дискретных энергий исследуется с помощью аппарата сходимости.

   Результаты исследования. Главным теоретическим результатом работы является математическое доказательство Γ-сходимости семейства дискретных анизотропных функционалов к нетривиальному непрерывному пределу в топологии L²(Ω). Доказана равнокоэрцитивность дискретных энергий, гарантирующая сходимость последовательности почти минимизаторов к решению непрерывной задачи.

   Обсуждение. Использование нормированных конечных разностей при построении весов восстанавливает размерную однородность и обеспечивает строгую масштабную инвариантность дискретизации нелокальных операторов.

   Заключение. Предложенный метод успешно связывает непрерывные вариационные постановки с дискретными предиктивными моделями, предоставляя теоретически обоснованный и вычислительно эффективный (дополнительные расходы инференса составляют 17–18 %) инструмент с контролируемой погрешностью.

1. Begoli E., Bhattacharya T., Kusnezov D. The need for uncertainty quantification in machine-assisted medical decision making. Nat Mach Intell. 2019;1(1):20–23. doi: 10.1038/s42256-018-0004-1

2. Abdar M., Pourpanah F., Hussain S., et al. A review of uncertainty quantification in deep learning: Techniques, applications and challenges. Inf Fusion. 2021;76:243–297. doi: 10.1016/j.inffus.2021.05.008

3. Gal Y., Ghahramani Z. Dropout as a Bayesian approximation: representing model uncertainty in deep learning. In: Proc. ICML. New York: PMLR; 2016. P. 1050–1059.

4. Lakshminarayanan B., Pritzel A., Blundell C. Simple and scalable predictive uncertainty estimation using deep ensembles. In: Advances in Neural Information Processing Systems. 2017;30:6402–6413.

5. Sensoy M., Kaplan L., Kandemir M. Evidential deep learning to quantify classification uncertainty. In: Advances in Neural Information Processing Systems. 2018;31:3183–3193.

6. Malinin A., Gales M. Predictive uncertainty estimation via prior networks. In: Advances in Neural Information Processing Systems. 2018;31:7047–7058.

7. Jungo A., Reyes M. Assessing reliability and challenges of uncertainty estimations for medical image segmentation. In: MICCAI 2019. LNCS, vol. 11765. Cham: Springer; 2019. P. 48–56. doi: 10.1007/978-3-030-32245-8_6

8. Nair T., Precup D., Arnold D.L., Arbel T. Exploring uncertainty measures in deep networks for multiple sclerosis lesion detection and segmentation. Med Image Anal. 2020;59:101557. doi: 10.1016/j.media.2019.101557

9. Mehrtash A., Wells W.M., Tempany C.M., Abolmaesumi P., Kapur T. Confidence calibration and predictive uncertainty estimation for deep medical image segmentation. IEEE Trans Med Imaging. 2020;39(12):3868–3878. doi: 10.1109/TMI.2020.3006437

10. Li H., Nan Y., Del Ser J., Yang G. Region-based evidential deep learning to quantify uncertainty and improve robustness of brain tumor segmentation. Neural Comput Appl. 2023;35:22071–22085. doi: 10.1007/s00521-022-08016-4

11. UDEL: Rethinking uncertainty dynamic estimation learning for ambiguous medical image segmentation. Digit Signal Process. 2025;169:105723. doi: 10.1016/j.dsp.2025.105723

12. Yang B., Zhang X., Zhang H., et al. Structural uncertainty estimation for medical image segmentation. Med Image Anal. 2025;103:103602. doi: 10.1016/j.media.2025.103602

13. Han K., Wang S., Chen J., et al., Region uncertainty estimation for medical image segmentation with noisy labels. IEEE Trans Med Imaging. 2025;44(12):5197–5207. doi: 10.1109/TMI.2025.3589058

14. Dal Maso G. An Introduction to Γ-Convergence. Boston: Birkhäuser; 1993. doi: 10.1007/978-1-4612-0327-8

15. Braides A. Γ-Convergence for Beginners. Oxford: Oxford University Press; 2002. doi: 10.1093/acprof:oso/9780198507840.001.0001

16. Ciarlet P.G. The Finite Element Method for Elliptic Problems. Philadelphia: SIAM; 2002. doi: 10.1137/1.9780898719208

17. Ronneberger O., Fischer P., Brox T. U-Net: convolutional networks for biomedical image segmentation. In: MICCAI 2015. LNCS, vol. 9351. Cham: Springer; 2015. P. 234–241. doi: 10.1007/978-3-319-24574-4_28

18. He K., Zhang X., Ren S., Sun J. Deep residual learning for image recognition. In: Proc. CVPR. 2016. P. 770–778. doi: 10.1109/CVPR.2016.90

19. Kingma D.P., Ba J. Adam: a method for stochastic optimization. In: Proc. ICLR. 2015. arXiv:1412.6980.

20. Bernard O., Lalande A., Zotti C., et al. Deep learning techniques for automatic MRI cardiac multistructures segmentation and diagnosis. IEEE Trans Med Imaging. 2018;37(11):2514–2525. doi: 10.1109/TMI.2018.2837502

21. Landman B.A., Xu Z., Iglesias J.E., et al. MICCAI Multi-Atlas Labeling Beyond the Cranial Vault ⸺ Workshop and Challenge. doi: 10.7303/syn3193805

22. Kavur A.E., Gezer N.S., Bariş M., et al. CHAOS Challenge ⸺ combined (CT-MR) healthy abdominal organ segmentation. Med Image Anal. 2021;69:101950. doi: 10.1016/j.media.2020.101950

23. Geifman Y., El-Yaniv R. Selective classification for deep neural networks. In: Advances in Neural Information Processing Systems. 2017;30:4878–4887.

24. Isensee F., Jaeger P.F., Kohl S.A.A. et al. nnU-Net: a self-configuring method for deep learning-based biomedical image segmentation. Nat Methods. 2021;18(2):203–211. doi: 10.1038/s41592-020-01008-z

25. Perona P., Malik J. Scale-space and edge detection using anisotropic diffusion. IEEE Trans Pattern Anal Mach Intell. 1990;12(7):629–639. doi: 10.1109/34.56205

26. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. Москва: БИНОМ; 2012. 636 с.

27. Джонсон Н.Л., Котц С., Балакришнан Н. Непрерывные одномерные распределения. Т. 2. Нью-Йорк: Wiley; 1995.

28. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. Москва: Наука; 1979. 288 с.

29. Самарский А.А. Теория разностных схем. Москва: Наука; 1989. 616 с.

30. Chen T., Xu B., Zhang C., Guestrin C. Training deep nets with sublinear memory cost. arXiv:1604.06174. 2016.

31. Micikevicius P., Narang S., Alben J. et al. Mixed precision training. In: Proc. ICLR. 2018. arXiv:1710.03740.