Геометро-комбинаторный подход к конструированию фракталов с кубической симметрией

   Введение. Предложен итеративный геометро-комбинаторный подход к конструированию фракталов с кубической симметрией — кубофракталов, адаптированный для их последующей реализации. Установлена связь введенных кубофракталов с аттракторами нестационарных систем итерированных функций. Изучены два примера кубофракталов, определены аттракторы соответствующих систем итерированных функций и вычислены размерности Хаусдорфа. В прикладной физике и материаловедении фрактальные модели могут успешно использоваться для описания иерархической структуры новых материалов. При этом идеальное самоподобие на всех масштабах не может наблюдаться в реальных системах. Когда речь идет о синтезе фракталоподобных структур, зачастую можно выделить минимальный масштаб и базовые элементы структуры, которые комбинируются на более высоких иерархических уровнях. В данной работе авторы используют именно этот подход для построения кубофракталов.

   Материалы и методы. Предложенный подход близок к построению фракталов с помощью L-систем, однако даже простые правила компоновки кубов, которые рассматривали авторы, требуют контексто-зависимых правил. В работе установлена связь между рассматриваемыми алгоритмами генерации и нестационарным обобщением систем итерированных функций. Таким образом, исследование предельных переходов от предфракталов к фракталам проводится в рамках теории сжимающих отображений. Соответствующие нестационарные системы итерированных функций реализованы в Wolfram Mathematica (в приложении приводится код для генерации и визуализации кубофракталов).

   Результаты исследования. Показана адекватность и простота алгоритма генерации кубофракталов с точки зрения создания соответствующих структур. Установлена связь с математическим аппаратом нестационарных систем итерированных функций. Изучены варианты правил генерации кубофракталов и выделены различные классы получающихся структур. Исследованы поточечные пределы итераций кубофракталов и предельный переход по метрике Хаусдорфа. Показано, что, выбирая последовательность a_n+1 с заданной скоростью роста и ее разбиение на Ra_n и ∆_n, можно управлять мерой итераций и хаусдорфовой размерностью предела. Для двух базовых примеров кубофракталов с последовательностями a_n = n∙2^n-1 + 2, n > 0 (кубосикстер) и a_n = 1+8∙5^n-2, n >1 вычислены фрактальные размерности, равные 1 и ln3/ln5 соответственно. Рассмотрены обратные траектории нестационарных систем итерированных функций и предложен подход к изучению их аттракторов.

   Обсуждение. Кубофракталы могут стать удобным подходом к генерации фрактальных структур для приложений и, кроме того, они существенно обогащают теорию нестационарных систем итерированных функций нетривиальными примерами.

   Заключение. Предельное множество кубосикстера есть просто отрезок [0;1], в то время как мера конечных итераций, которые приближаются к отрезку в смысле метрики Хаусдорфа, стремится к нулю. Можно предположить, что и другие физические свойства итераций (масса, прочность, пористость и т. д.) будут различаться в поточечном пределе и в пределе в смысле метрики Хаусдорфа. В связи с этим именно предфракталы для кубосикстера представляют исследовательский интерес в приложениях.

1. Falconer K. Fractal geometry: mathematical foundations and applications. John Wiley & Sons; 2013.

2. Mandelbrot B.B. The fractal geometry of nature. New York: WH Freeman; 1982.

3. Ristanovic D., Losa G.A. A contribution to definitions of some fractal concepts. The Fractal Laboratory Journal. 2013;2(2):1−99.

4. Ghanbarian-Alavijeh B., Millán H., Huang G. A review of fractal, prefractal and pore-solid-fractal models for parameterizing the soil water retention curve. Canadian Journal of Soil Science. 2011;91(1):1−4. doi: 10.4141/cjss10008

5. Wallace G.Q., Lagugné-Labarthet F. Advancements in fractal plasmonics: structures, optical properties, and applications. Analyst. 2019;144(1):13−30. doi: 10.1039/C8AN01667D

6. Rozenberg G., Salomaa A. The mathematical theory of L systems. Academic press; 1980.

7. Hutchinson J.E. Fractals and self similarity. Indiana University Mathematics Journal. 1981;30(5):713−747.

8. Lunnon, W. F. Symmetry of cubical and general polyominoes. In Graph Theory and Computing. Academic Press; 1972.

9. Fisher Y. Fractal image compression. Fractals. 1994;2(03):347−361.

10. Levin D., Dyn N., Veedu V.P. Non-stationary versions of fixed-point theory, with applications to fractals and subdivision. Journal of Fixed Point Theory and Applications. 2019;21(1):26. doi: 10.1007/s11784-019-0659-1