Метод вырождения интегрального ядра для решения интегрального уравнения Фредгольма

Введение. Впервые предложен модифицированный метод вырождения интегрального ядра для решения интегральных уравнений Фредгольма второго рода. Идея заключается в том, чтобы интегральное ядро разложить в ряд Тейлора по одной переменной x, а не по двум переменным x, s как в классическом методе.

Материалы и методы. Разложение ядра в ряд проводится в средней точке отрезка интегрирования, что уменьшает модули элементов матрицы C, а также область невырожденности для матрицы I–λC. Используется система степенных базисных функций на отрезке интегрирования. Получены три теоремы для достаточных условий корректности предложенного алгоритма методом вырождения интегрального ядра. Введено определение факториальной нормы Чебышева вектор-функции. Факториальная норма для системы частных производных интегрального ядра по переменной x и параметр λ входят в неравенство третьей теоремы — достаточное условие корректности алгоритма. Обратная матрица для решения уравнения Пуассона за конечное число элементарных операций вычислялась библиотекой Msimsl.

Результаты исследования. Предложенный в работе численный алгоритм протестирован на трех интегральных уравнениях Фредгольма с ядрами с экспоненциальным ростом или с периодическим изменением знака ядра. Численные решения совпадают с точными решениями в 15 значащих знаках в равномерной метрике.

Обсуждение. Предложен модифицированный алгоритм численного решения уравнения Фредгольма второго рода с двойной точностью. Решение представимо в виде суммы n+1 слагаемого степенного вида с нулем в середине отрезка [a, b] и функции — правой части уравнения Фредгольма.

Заключение. Метод вырождения интегрального ядра представляет интерес для функционального анализа и численных методов. Ядро интегрального уравнения должно быть достаточно гладким по переменной x.

1. Бахвалов Н.С., Лапин А.В., Чижонков Е.В. Численные методы в задачах и упражнениях. Москва: Бином. Лаборатория знаний. 2010. 240 c.

2. Бурова И.Г., Алцыбеев Г.О. Применение сплайновых аппроксимаций второго порядка к решению интегральных уравнений второго рода. Вычислительные методы и программирование. 2025;2(26):175–191. https://doi.org/10.26089/NumMet.v26r213

3. Соловьева С.А. О специальном варианте метода подобластей решения интегральных уравнения Фредгольма второго рода. Вычислительные методы и программирование. 2018;3(19):230–234. https://doi.org/10.26089/NumMet.v19r322

4. Соловьева С.А. Об одном варианте метода коллокации для интегральных уравнений Фредгольма второго рода. Вычислительные методы и программирование. 2017;(2)18:187–191. https://doi.org/10.26089/NumMet.v18r216

5. Гермидер О.В., Попов В.Н. О методе коллокации при построении решения интегрального уравнения Вольтерра второго рода с использованием многочленов Чебышева и Лежандра. Известия Иркутского государственного университета. Серия: Математика. 2024;50:19–35. https://doi.org/10.26516/1997-7670.2024.50.19

6. Junghanns P., Roch St., Silbermann B. Collocation methods for systems of cauchy singular integral equations. Computational Technologies. 2001;1(6):88–124.

7. Давыдов А.А., Хачатрян Х.А., Петросян А.С. О решениях одной системы нелинейных интегральных уравнений типа свёртки на всей числовой прямой. Дифференциальные уравнения. 2023;11(59);1500–1514. https://doi.org/10.31857/S0374064123110055

8. Волосова Н.К., Волосов К.А., Волосова А.К., Карлов М.И., Пастухов Д.Ф., Пастухов Ю.Ф. Обобщение метода Петрова-Галеркина для решения системы интегральных уравнений Фредгольма второго рода. Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика. 2023;1(60):5–14. https://doi.org/10.17072/1993-0550-2023-1-5-14

9. Волосова Н.К., Волосов К.А., Волосова А.К., Карлов М.И., Пастухов Д.Ф., Пастухов Ю.Ф. Решение интегральных уравнений Фредгольма методом замены интеграла квадратурой с двенадцатым порядком погрешности в матричном виде. Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика. 2022;4(59):9–17. https://doi.org/10.17072/1993-0550-2022-4-9-17

10. Волков Ю.С., Мирошниченко В.Л. Оценки норм матриц, обратных к матрицам монотонного вида и вполне неотрицательным матрицам. Сибирский математический журнал. 2009;6(50):1248–1254.

11. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы: учебное пособие для студентов физикоматематических специальностей высших учебных заведений. Москва: Бином. Лаборатория знаний; 2011. 636 с.