Повышение гладкости численного решения моделирования задач гидродинамики на прямоугольных сетках

В работе рассматривается развитие и применение метода учета заполненности прямоугольных ячеек материальной средой, в частности, жидкостью для повышения гладкости и точности конечноразностного решения задач гидродинамики со сложной формой граничной поверхности. Для исследования возможностей предлагаемого метода рассмотрены две задачи вычислительной гидродинамики – пространственно-двумерного течения вязкой жидкости между двумя соосными полуцилиндрами и пространственно-трехмерная задача волновой гидродинамики – распространения волны в прибрежной зоне и ее выхода на сушу. Для решения поставленных задач используются прямоугольные сетки, учитывающие заполненность ячеек. Аппроксимация задач по времени выполнена на основе схем расщепления по физическим процессам, а по пространственным переменным – на основе интегро-интерполяционного метода с учетом заполненности ячеек и без ее учета. Для оценки точности численного решения первой задачи в качестве эталона используется аналитическое решение, описывающее течение Куэтта-Тейлора. Моделирование производилось на последовательности сгущающихся расчетных сеток размерами: 11×21, 21×41, 41×81 и 81×161 узлов в случае применения метода и без его использования. В случае непосредственного использования прямоугольных сеток (ступенчатой аппроксимации границ) относительная погрешность расчетов достигает 70%; при тех же условиях использование предлагаемого метода позволяет уменьшить погрешность до 6%. Показано, что дробление прямоугольной сетки в 2-8 раз по каждому из пространственных направлений не приводит к такому же повышению точности, которой обладают численные решения, полученные с учетом заполненности ячеек.

1. A.I. Sukhinov, A.E. Chistyakov, E.F. Timofeeva, A.V. Shishenya. Mathematical model for calculating coastal wave processes // Mathematical Models and Computer Simulations, 2013. Volume 5. Issue 2, p.122–129.

2. A. I. Sukhinov, A. E. Chistyakov, and E. V. Alekseenko, Numerical Realization of the Three-Dimensional Model of Hydrodynamics for Shallow Water Basins on a High-Performance System // Mathematical Models and Computer Simulations, 2011. Volume 23. Issue 3, pp.3–21.

3. A.I. Sukhinov, A.Ye. Chistyakov, A.V. Shishenya, Ye.F. Timofeyeva. Predskazatel'noye modelirovaniye pribrezhnykh gidrofizicheskikh protsessov na mnogoprotsessornoy sisteme s ispol'zovaniyem yavnykh skhem // Matematicheskoye modelirovaniye, 2018. Т.30, № 3. S. 83–100.

4. T. Ezer, G.L. Mellor Sensitivity studies with the North Atlantic sigma coordinate Princeton Ocean Model. Dynamics of Atmospheres and Oceans. 2000. V. 32. pp. 155–208.

5. A.S. Monin. Turbulentnost' i mikrostruktura v okeane // Uspekhi fizicheskikh nauk, 1973. T. 109, № 2. S.333-354.

6. Yu.I. Shokin. Vychislitel'nyy eksperiment v probleme tsunami / YU.I. Shokin, L. B. Chubarov, An. G. Marchuk, K.V. Simonov. – Novosibirsk: Nauka. Sib. otd-napravleniye, 1989. 164 s.

7. Yu.V. Vasilevskiy, A.A. Danilov, D.V. Nikolayev, S.G. Rudnev, V.YU. Salamatova, A.V. Smirnov. Konechno-elementnyy analiz zadach bioimpedansnoy diagnostiki // ZH. vychisl. matem. i matem. fiz., 2012. T. 52, № 4. S. 733–745.

8. M.V. Muratov, I.B. Petrov, I.Ye. Kvasy. Chislennoye resheniye zadach seysmorazvedki v skvazhinakh treshchinovatykh rezervuarov // Matematicheskoye modelirovaniye, 2016. T. 28, № 7. S.31–44.

9. B.N. Chetverushkin, M.V. Yakobovskiy. Vychislitel'nyye algoritmy i arkhitektura sistem vysokoy proizvoditel'nosti // Preprinty IPM im. M.V.Keldysha, 2018, 052, 12 s.

10. L.D. Landau., Ye.M. Lifshits. Gidrodinamika. – M .: Nauka, Gl. red. fiz-mat.lit., 1986. 736 s.

11. O.M. Belotserkovskiy. Turbulentnost': novyye podkhody. – M.: Nauka, 2003. 286 s.

12. O.M.BelotserkovskiiV.A.GushchinV.V.Shchennikov. Use of the splitting method to solve problems of the dynamics of a viscous incompressible fluidUSSR // Computational Mathematics and Mathematical Physics, 1975. Volume 15. Issue 1, pp. 190–200.

13. O.M. Belotserkovskiy, V.A. Gushchin, V.N. Kon'shin. The splitting method for investigating flows of a stratified liquid with a free surface // USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics. 1987.Volume 27. Issue 2, pp. 181–191.

14. A.I. Sukhinov, A.Ye. Chistyakov, N.A. Fomenko. Metodika postroyeniya raznostnykh skhem dlya resheniya zadach diffuzii-konvektsii-reaktsii, uchityvayushchikh stepen' zapolnennosti kontrol'nykh yacheyek // Izvestiya YUFU. Tekhnicheskiye nauki, 2013. № 4(141). S. 87–98.

15. A.A. Samarskii. The theory of difference schemes. – NY – Basel, Marcel Dekker, Inc, 2001, 761 p.

16. A.A. Samarskiy, P.N. Vabishchevich. Chislennyye metody resheniya zadach konvektsii-diffuzii. – M .: Editorial URSS, 1999. 247 s.

17. A.A. Samarskiy, Ye.S. Nikolayev. Metody resheniya setochnykh uravneniy. – M .: Nauka, 1978. 592 s.

18. A. N. Konovalov, To the Theory of the Alternating Triangle Iteration Method, Sib. Mat. Zh. 43 (3), 552–572 (2002). [Sib. Math. J. 43 (3), 439–457 (2002)].

19. A.I. Sukhinov, A.E. Chistyakov, Adaptive Modified Alternating Triangular Iterative Method for Solving Grid Equations with a NonSelfAdjoint Operator // Matematicheskoe Modelirovanie, 2012, Vol. 24, No. 1, pp. 3–20.

20. S.V. Vallander. Lektsii po gidroaeromekhanike. Ucheb. posobiye. – L.: LGU, 1978. 296 s.