Grid-characteristic methods. 55 years of developing and solving complex dynamic problems

The development of a computational method is not a simple matter and boils down to replacing the differential operator with a difference one. To construct it, it is necessary to correctly set a mathematical problem that is adequate to the physical one under consideration. In addition, the algorithm must meet some other requirements. Therefore, to create a numerical algorithm requires not only ingenuity and imagination, but also a deep understanding of the reasons why these requirements are caused.

Systems of partial differential equations of hyperbolic type are used to describe the unsteady behavior of continuous media. To solve these problems, characteristic methods were developed in such a way as to take into account the corresponding properties of hyperbolic equations and to be able to build a so-called characteristic irregular grid adapting to the solution of the problem. Methods of end-to-end counting have been developed that take into account the properties of systems of hyperbolic equations — inverse methods of characteristics or grid-characteristic methods.

In grid-characteristic methods, a regular computational grid is used, not a solvable initial system is approximated on it, but compatibility conditions along characteristic lines with interpolation of the desired functions at the points of intersection of characteristics with a coordinate line on which the data is already known. The obtained characteristic form of the gas dynamics equations makes it possible to understand how to set the boundary conditions correctly.

The construction of a numerical method is not a simple matter and is not reduced to the formal replacement of derivatives by approximating their difference relations (for example, using finite differences). When developing the method, it is necessary to take into account the physical side of the problem being solved. At the same time, the method must meet certain requirements, the understanding of which is necessary during its development.

1. Рождественский, Б. Л. Системы квазилинейных уравнений / Б. Л. Рождественский, Н. Н. Яненко. — Москва : Наука: Физматлит, 1978. — 687 с.

2. Численное решение многомерных задач газовой динамики / С. К. Годунов, А. В. Забродин, М. Я. Иванов, [и др.]. — Москва : Наука: Физматлит, 1973. — 400 с.

3. Годунов, С. К. Разностные схемы. Введение в теорию / С. К. Годунов, В. С. Рябенький. — Москва : Наука: Физматлит, 1973. — 400 с.

4. Олдер, Б. Вычислительные методы в гидродинамике / Б. Олдер, С. Фернбах / под ред. М. Ротенберга. — Москва : Мир, 1967. — 383 с.

5. Самарский, А. А. Теория разностных схем / А. А. Самарский. — Москва : Наука: Физматлит, 1977. — 653 с.

6. Шокин, Ю. И. Метод дифференциального приближения. Применение к газовой динамике / Ю. И. Шокин, Н. Н. Яненко. — Новосибирск : Наука, 1985. — 364 с.

7. Белоцерковский, О. М. Численное моделирование в механике сплошных сред / О. М. Белоцерковский. — Москва : Физматлит, 1994. — 442 с.

8. Самарский, А. А. Разностные методы решения задач газовой динамики / А. А. Самарский, Ю. П. Попов. — Москва : USSR, 2009. — 421 с.

9. Магомедов, К. М. Сеточно-характеристические численные схемы / К. М. Магомедов, А. С. Холодов. — Москва : Наука, 1988. — 288 с.

10. Федоренко, Ф. П. Введение в вычислительную физику / Ф. П. Федоренко. — Долгопрудный : Интеллект, 2008. — 503 с.

11. Куликовский, А. Г. Математические решения гиперболических систем уравнений / А. Г. Куликовский, Н. В. Погорелов, А. Ю. Семенов. — Москва : Физматлит, 2012. — 656 с.

12. Петров, И. Б. Лекции по вычислительной математике / И. Б. Петров, А. И. Лобанов. — Москва: Бином, 2010. — 522 с.

13. Кукуджанов, В. Н. Вычислительная механика сплошных сред / В. Н. Кукуджанов. — Москва : Физматлит, 2008. — 320 с.

14. Riemann, B. Uber die Fortpflanzug ebener Luftwellen von endlicher Schwingungsweite / B. Reinmann // Abhadl. Von der Konglichen Gesellshaft der Wissenshaften zu Gottingen, Mathem, Klass. — 1860. — Vol. 8. — P. 43-45.

15. Русанов, В. В. Метод характеристик для пространственных задач. Теоретическая гидродинамика / В. В. Русанов / под ред. Л. И. Седова // Труды Министерства авиационной промышленности СССР. — Москва : Оборонгиз, 1953. — Вып. 3, № 11. — С. 3-62.

16. Richardson, D. J. The solution of two-dimensional hydrodynamic equation by the method of characteristic. In Method of Computational Physics 3 / D. J. Richardson // Academic Press : New York, 1964. — P. 295-318.

17. Жуков, А. И. Применение метода характеристик к численному решению одномерных задач газовой динамики / А. И. Жуков // Труды Математического института им. В. А. Стеклова. — АН СССР. — 1958. — С. 1-152.

18. Courant, R. On the solution of nonlinear hyperbolic differential equation by finite differences. Comm. Pure and Appl / R. Courant, E. Isakson, M. Rees // Math. — 1952. — Vol. 5, no. 5. — P. 243-254.

19. Холодов, А. С. О построении разностных схем повышенного порядка точности для уравнений гиперболического типа / А. С. Холодов // Журнал вычислительной и математической физики. — 1980. — Т. 20, № 6. — C. 1601-1620.

20. Петров, И. Б. О регуляризации разрывных численных решений уравнений гиперболического типа / И. Б. Петров, А. С. Холодов // Журнал вычислительной и математической физики. — 1984. — Т. 24, № 8. — С. 1172-1188.

21. Favorskaya, A. V Innovation in Wave Processes Modeling and Decision Making. Gricharac-teristic Method and Applications / A. V Favorskaya, I. B. Petrov // Springer. — 2018. — 251 p.

22. Холодов, А. С. О критерии монотонности разностных схем для уравнений гиперболического типа / A. С. Холодов, Я. А. Холодов // Журнал вычислительной и математической физики. — 2006. — Т. 46, № 9. — C. 1638-1667.

23. Lax, P. D. Weak solution of nonlinear hyperbolic equation and their numerical computation / P. D. Lax // Communications on Pure and Applied Mathematics. — 1954. — Vol. 7, no. 1. — P. 159-193.

24. Ландау, Л. Д. Численные методы интегрирования уравнений в частных производных методом сеток / Л. Д. Ландау, И. Н. Мейман, И. М. Халатников // Труды III Всесоюзного Математического съезда. — Изд. АН СССР. — Т. 3. — С. 92-100.

25. Lax, P. D. System of conservation law / P. D. Lax, B. Wendroff // Communications on Applied Mathematics. — 1960. — Vol. 13, no. 2. — P. 217-237.

26. MacCormack, R.W. The effect of viscosity in hypervelocity impact cratering / R. W. MacCormack // AIAA Paper. — 1969. — No. 69. — 354 p.

27. Kutler, P. Second and third-order noncentered difference schemes for nonlinear hyperbolic equation / P. Kutler, H. Lomax, R.F. Warming // AIAA Paper. — 1973. — No. 11. — P. 189-196.

28. Федоренко, Р. П. Применение разностных схем высокой точности для численного решения гиперболических уравнений / Р. П. Федоренко // Журнал вычислительной математики математической физики. — 1962. — Т. 2, № 6. — С. 1122-1128.

29. Русанов, В. В. Разностные схемы третьего порядка точности для сквозного счета разрывных решений / B. В. Русанов // Доклады АН СССР, 180. — 1968. — № 6. — C. 1303-1305.

30. Burstein, S. Z. Third order difference method for hyperbolic equations / S. Z. Burstein, A. A. Mirin // Journal of Computational Physics. — 1970. — Vol. 5, no. 3. — P. 547-571.

31. Толстых, А. И. О построении схем заданного порядка с линейными комбинациями операторов / А. И. Толстых // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2000. — Т. 2, № 6. — C. 1122-1128.

32. Рогов, В. В. Монотонные бикомпактные схемы для линейного уравнения переноса / В. В. Рогов, М. Н. Михайловская // Математическое моделирование. — 2011. — Т. 23, № 6. — С. 98-110.

33. Schwartzkopff, T. A. A high-order Approach for Linear Hyperbolic Systems in 2D / T. A. Schwarzkopff, C. D. Munz and Toro // Journal of Scientific Computing. — 2002. — Vol. 17, no. 3. — P. 231-240.

34. Сеточно-характеристический метод с использованием интерполяции высоких порядков на тетраэдральных иерархических сетках с кратным шагом по времени / И. Б. Петров, А. В. Фаворская, А. В. Санников, И. Е. Квасов // Математическое моделирование. — 2013. — Т 25, № 2. — С. 42-52.

35. Петров, И. Б. Моделирование задач 3D сейсмики на высокопроизводительных вычислительных системах / И. Б. Петров, Н. И. Хохлов // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2014 г. — Т 26, № 1. — C. 83-95.

36. Van Neumann J. A method for the numerical calculation of hydrodynamic shocks / J. Van Neumann, R. D. Richtmayer // Journal of Applied Physics. — 1950. — Vol. 21, no. 3. — P. 232-237.

37. Куропатенко, В. Д. Метод построения разностных схем для численного интегрирования уравнений гидродинамики / В. Д. Куропатенко // Известия Высших учебных заведений. Серия «Математика» — 1962. — № 3. — С. 75-83.

38. Richtmyer, R. D. Difference Methods for Initial-Value Problems / R. D. Richtmyer, K. W. Morton // Inter-science Publishers. — 1967. — 418 p.

39. Wilkins, M. L. Use of artificial viscosity on multidimensial fluid dynamic calculation / M. L. Wilkins // Journal of Computational Physics. — 1980. — Vol. 36, no. 3. — P. 281-303.

40. Roache, P. J. Computational Fluid Dynamics / P. J. Roache // Numerical, Albuquerque, NM. — 1976.

41. Fridrichs, K. O. Symmetric hyperbolic linear differential equations / K. O. Fridrichs // IBID. — 1954. — No. 2. — P. 345-392.

42. Годунов, С. К. Разностный метод численного расчета разрывных уравнений гидродинамики / С. К. Годунов // Математический cборник. — 1959. —Т. 47 (89), вып. 3. — С. 271-306.

43. Harten, A. High resolution schemes for hyperbolic conservation laws / A. Harten // Journal Comp. Phys. — 1983. — Vol. 49, no. 3. — P. 357-393.

44. Boris, I. P. Flux-corrected transport. I. Shasta a fluid transport algorithm that works / I. P. Boris, D. L. Book // Journal of Computational Physics. — 1973. — Vol. 11, no. 1. — P. 38-69.

45. Van Leer. Forwards the Ultimate Conversation Difference Scheme / Van Leer // Journal of Computational Physics. — Vol. 14, no. 4. — P. 361-370.

46. Яненко, Н. Н. Дифференциальные анализаторы ударных волн / Н. Н. Яненко, Е. В. Ворожцов, В. М. Фомин // Доклады АН СССР, 227. — 1976. — № 1. — С. 50-53.

47. Гольдин, В. Я. Нелинейные разностные схемы для гиперболических уравнений / В. Я. Гольдин, Н. Н. Калиткин, Т. В. Шишова // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1965. — № 5. — С. 938-944.

48. Harten, A. Switched numerical shuman filters for shock calculation / A. Harten, G. Zwas // Journal of Engineering Mathematics. — 1972. —Vol. 6, no. 2. — P. 207-216.

49. Van Leer B. Towards the ultimate conservative difference scheme / Van Leer B. // The guest of Monotonicity. Lecture Notes in Physics. — 1973. — Vol. 18, no. 1. — P. 163-168.

50. Van Leer B. Towards the ultimate conservative difference scheme / Van Leer B. // The guest of Monotonicity. Lecture Notes in Physics. — 1973. — Vol. 14, no. 4. — P. 361-370.

51. Колган, В. П. Применение принципа минимальных значений производных к построению конечно-разностных схем для расчета разрывных численных решений газовой динамики / В. П. Колган // Ученые записки ЦАГИ. — 1972. — Т. 3, № 6. — С. 68-77.

52. Sweby, P. K. High resolution schemes using flux limiters for hyperbolic conservation laws / P. K. Sweby // Journal on Numerical Analysis. — 1984. — Vol. 21, no. 5. — P. 995-1011.

53. Harten, A. ENO schemes with subcell resolution / A. Harten // Journal of Computational Physics. — 1989. — Vol. 83, no. 1. — P. 148-184.

54. Shu, C.-W. TVB uniformly high-order accurate nonoscillatory schemes. / C.-W. Shu // Journal on Numerical Analysis. — SIAM, 1987. — Vol. 24, no. 2. — P. 279-309.

55. Liu, X-D. Weighted essentially non-oscillatory schemes / X-D. Liu, S. Osher, T. Chan // Journal of Computational Physics. — 1994. — Vol. 115, no. 1. — P. 200-212.

56. Toro, E. F. A last Riemann solver with constant covolume applied to the random choice method / E. F. Toro // International Journal Numer. Meth. Fluids. — 1989. — No. 9. — P. 1145-1164.

57. Toro, E. F. Rieman Solvers and Numerical methods for Fluid Dynamics / E. F. Toro // A practical Introduction. — Berlin : Springer, 1997.

58. Толстых, А. И. Компактные и мультиоператорные аппроксимации высокой точности для уравнений в частных производных / А. И. Толстых. — Москва : Наука, 2015. — 349 с.

59. Петров, И. Б. Численное исследование некоторых динамических задач механики деформируемого твердого тела сеточно-характеристическим методом / И. Б. Петров, А. С. Холодов // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1984. — Т 24, № 5. — С. 722-739.

60. Азаренок, Б. Н. О применении адаптивных сеток для численного решения нестационарных задач газовой динамики / Б. Н. Азаренок, С. А. Иваненко // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2000. — Т 40. — С. 1386-1407.

61. Лисейкин, В. Д. Разностные сетки. Теория и приложения / В. Д. Лисейкин. — Новосибирск : Изд. Сибирского отд. РАН, 2014. — 253 с.

62. Автоматизированные технологии расчетных сеток. Нелинейная вычислительная механика прочности / Ю. В. Василевский, А. А. Данилов, К. Н. Липников, В. Н. Чугунов. — Москва : Физматлит, 2016. — Т IV — 211 с.

63. Харлоу, Ф. Х. Численный метод «частиц» в ячейках для задач гидродинамики / Х. Ф. Харлоу / под ред. С. С. Григоряна и Ю. Д. Шмыглевского. — Москва : Мир. — 383 с.

64. Белоцерковский, О. М. Метод крупных частиц в газовой динамике / О. М. Белоцерковский, Ю. М. Давыдов. — Москва : Наука, 1982. — 392 с.

65. Григорьев, Ю. Н. Численное моделирование методами частиц — в ячейках / Ю. Н. Григорьев, В. А. Вшивков, М. П. Федорчук. — Новосибирск : Изд. Сибирского отд., 2004. — 359 с.

66. Monagan, J. J. An introduction to SPH / J. J. Monagan // Computer Physics Communications. — 1988. — Vol. 48. — P. 89-96.

67. Потапов, А. П. Моделирование волновых процессов методом сглаженных частиц / А. П. Потапов, С. И. Ройз, И. Б. Петров // Математическое моделирование. — 2009. — Т. 21, № 7. — С. 20-28.

68. О сеточно-характеристическом методе на неструктурированных сетках / И. Б. Петров, А. В. Фаворская, М. В. Муратов, В. А. Бирюков, А. В. Санников // Доклады Академии Наук. — 2014. — Т 459, № 4. — С. 406-408.

69. О комбинированном методе для численного решения динамических пространственных упругопластических задач / И. Б. Петров [и др.] // Доклады Академии Наук. — 2014. — Т 460, № 4. — С. 389-391.

70. Рогов, Б. В. Высокоточная монотонная компактная схема бегущего счета для многомерных уравнений гиперболического типа / Б. В. Рогов // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2013. — Т. 53, № 4. — С. 94-104.

71. Холодов, А. С. Численные методы решения уравнений и систем гиперболических уравнений / А. С. Холодов. Москва : Янус-К, 2008 г. — Т. 8-1, ч. 2. — С. 141-174.

72. Голубев, В. И. Компактные сеточно-характеристические схемы повышенного порядка точности для трехмерного линейного уравнения переноса / В. И. Голубев, И. Б. Петров, Н. И. Холодов // Математическое моделирование. — 2016. — Т. 28, № 2. — С. 123-132.

73. Local discontinuos Galerkin method for contaminant transport / V/ Aizinger, C. Dawson, D. Cockburn and P. Castillo // Advances in Water Resources. — 2000. — Vol. 24. — P. 73-78.

74. Миряха, В. А. Численное моделирование динамических процессов в твердых деформируемых телах разрывным методом Галеркина / В. А. Миряха, А. В. Санников, И. Б. Петров // Математическое моделирование. — 2015. — Т 27, № 3. — С. 96-108.

75. Батэ, К.-Ю. Методы конечных элементов / К.-Ю. Батэ. — Москва : Физматлит, 2010. — 1022 с.

76. Golovizin, V N. Some properties of the CABARET scheme / V N. Golovizin, A. A. Samarskii // Mathematical Models. — 1998. — No. 10. — P. 101-116.

77. Randall J., Leveque. Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems / Randall J., Leveque // Cambridge texts in applied mathematics. — Cambridge University press, 2002. — 558 p.

78. Лунев, В. В. Течение реальных газов с большими скоростями / В. В. Лунев. — Москва : Физматлит, 2007.

79. Любимов, А. Н. Течение газа около тупых тел / А. Н. Любимов, В. В. Русанов. В 2-х ч. — Москва : Наука, 1970 г.

80. Utyzhnikov, S. Hypersonic aerodynamics and heat Transfer / S. Utyzhnikov, G. Tirskiy // Begell. — New York : Connecticut. — 536 p.

81. О численном решении связанных задач сверхзвукового обтекания деформируемых оболочек / П. Н. Коротин, И. Б. Петров, В. Б. Пирогов, А. С. Холодов // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1987. — Т 27, № 8. — С. 1233-1243.

82. Максимов, Ф. А. Сверхзвуковое обтекание системы тел / Ф. А. Максимов // Компьютерные исследования и моделирование. — 2013. — Т 5, № 6. — С. 969-980.

83. Ведерников, А. Е. Численное исследование двух и трехслойной жидкости в приближении мелкой воды / А. Е. Ведерников, А. С. Холодов // Математическое моделирование. — 1990. — Т 2, № 6. — С. 9-18.

84. Холодов, А. С. Вычислительные модели верхней атмосферы Земли и некоторые их приложения / А. С. Холодов, М. О. Васильев, Е. А. Молоков / Известия РАН // серия «Физика атмосферы и океана». — 2010. — Т 46, № 6. — С. 1-21.

85. Крысанов, Б. Ю. Моделирование МГД — уравнениями ионосферных возмущений, генерируемых в приземном слое атмосферы / Б. Ю. Крысанов, В. Е. Куницын, А. С. Холодов // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2011. — Т. 51, № 2. — С. 282-302.

86. Astanin, A. V Modeling the Influence Bow Shock Wave on the Earth's Surface / A. V Astanin, A. D. Dashkevich, M. N. Petrov [et al.] // Mathematical Models and Computer Simulation. — 2017. — Vol. 9, no. 2. — P. 133-141.

87. Петров, И. Б. Численное исследование волновых процессов и процессов разрушения в многослойных преградах / И. Б. Петров, Ф. Б. Челноков // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2003. — № 43 (10). — С. 1562-1579.

88. Численное моделирование динамических процессов при низкоскоростном ударе по композитной стрингеровой панели. / И. Б. Петров [и др.] // Математическое моделирование. — 2014. — № 26 (9). — С. 96-110.

89. Моделирование экспериментов по исследованию прочностных характеристик льда разрывным методом Галеркина / В. А. Миряха, А. В. Санников, В. А. Бирюков, И. Б. Петров // Математическое моделирование. — 2018. — № 2.

90. Иванов, В. Д. Моделирование деформаций в мишенях под действием лазерного излучения / В. Д. Иванов, И. Б. Петров // Труды ИОФ АН СССР. — 1992. — Т. 36. — С. 247-265.

91. Коротин, П. Н. Численное моделирование поведения упругих и упругопластических тел под воздействием мощных энергетических потоков / П. Н. Коротин, И. Б. Петров, А. С. Холодов // Математическое моделирование. — 1989. — № 1 (7). — С. 1-12.

92. Острик, А. В. Расчет дифракции акустического импульса малой длительности на отверстии сложной формы в заполнителе, окруженном упругой оболочкой / А. В. Острик, И. Б. Петров, В. П. Петровский. — ДАН СССР, 1990. — № 2 (8). — С. 51-59.

93. Левянт, В. Б. Исследование характеристик продольных и обменных волн отклика обратного рассеяния от зон трещиноватости коллектора / В. Б. Левянт, И. Б. Петров, С. А. Панкратов // Технологии сейсморазведки. — 2009. — № 6 (2). — С. 3-11.

94. Муратов, М. В. Расчет волновых откликов от систем субвертикальных макротрещин с использованием сеточно-характеристического метода / М. В. Муратов, И. Б. Петров // Математическое моделирование. — 2013. — № 25 (3). — С. 89-104.

95. Фаворская, А. В. Сеточно-характеристический метод на системах вложенных иерархических сеток и его применение для исследования сейсмических волн / А. В. Фаворская, Н. И. Хохлов, И. Б. Петров // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2017. — Т. 57, № 11. — С. 1804-1811.

96. Голубев, В. И. Моделирование динамических процессов в трехмерных слоистых трещиноватых средах с использованием сеточно-характеристического численного метода / В. И. Голубев [и др.] // Прикладная механика и техническая физика. — 2017. — Т 58, № 3. — С. 190-197.

97. Simulation of seismic processes in geological exploration of Arctic shelf / P. V. Stognii, I. B. Petrov, N. I. Kholodov, D. I. Petrov // Russian Journal numerical analysis and mathematical modelling. — 2017. — Vol. 32, No. 6. — P. 381-392.

98. Numerical modeling of earthquake on engeneering structure on Arctic shelf / V I. Golubev, A. V Vasyukov, K. A. Beclemisheva, I. B. Petrov // Computational Mathematics and Information Technologies. — 2017. — No. 2. — P. 1-6.

99. Numerical solution of seismic exploration problems in the Arctic region by applying the grid-characteris-tic method / D. I. Petrov, I. B. Petrov, A. V Favorskaya and N. I. Kholodov // Computational Mathematics and Mathematical Physics. — 2016. — Vol. 56, no. 6. — P. 1128-1141.

100. Мониторинг состояния подвижного состава с помощью высокопроизводительных методов / И. Б. Петров [и др.] // Математическое моделирование. — 2014. — Т. 26, № 7. — С. 19-32.

101. Голубев, В. И. Моделирование волновых процессов планеты с помощью гибридного сеточно-характеристического метода / В. И. Голубев, И. Б. Петров, Н. И. Хохлов // Математическое моделирование. — 2015. — Т. 27, № 2. — С. 139-148.

102. Allen Taflove, Susan C. Hagness. Computation electrodynamics. The finite-difference time-domation method / Allen Taflove, Susan C. Hagness // Artech House: Boston/London. — 2005. — P. 1006.

103. Численное решение системы уравнений Максвелла для моделирования распространения электромагнитных волн // Труды МФТИ. — 2016. — Т. 8. — C. 121-130.

104. Агапов, П. И. Численное моделирование последствий механического воздействия на мозг человека при черепно-мозговой травме / П. И. Агапов, О. М. Белоцерковский, И. Б. Петров // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2006. — Т. 46, № 9. — С. 1711-1720.

105. Балановский, Н. Н. Расчет динамических процессов в глазу при лазерной экстракции катаракты / Н. Н. Балановский, А. В. Бубнов, А. С. Обухов, И. Б. Петров // Математическое моделирование. — 2003. — № 15 (11). — С. 37-44.

106. Холодов, А. С. Математическое моделирование иррригационно-аспирационной техники факоэмульсификации / А. С. Холодов, А. В. Бубнов, Т. Е. Марченкова // Офтальмохирургия. — 1991. — № 1. — С. 11-15.

107. Холодов, А. С. Численный анализ воздействия акустических возмущений на функцию легких и гемодинамику малого круга кровообращения / А. С. Холодов, С. С. Симаков // Медицина в зеркале информатики / под ред. О. М. Белоцерковского, А. С. Холодова. — Москва : Наука, 2008. — С. 45-75.

108. Холодов, А. С. Численное исследование транспортных потоков на основе гидродинамических моделей / А. С. Холодов [и др.] // Компьютерные исследования и моделирование. — 2011. — Т. 3, № 4. — С. 389-412.

109. Моделирование глобальных энергетических сетей / А. К. Бордонос, Я. А. Холодов, А. С. Холодов, И. И. Морозов // Математическое моделирование. — 2009. — Т. 21, № 6. — С. 3-16.

110. Северов, Д. С. Сравнение пакетной и потоковой моделей IP-сетей / Д. С. Северов, А. С. Холодов, Я. А. Холодов // Математическое моделирование. — 2011. — Т. 23, № 12. — С. 105-116.