Введение. Построение разностных схем, их исследование и модификация с учетом специфики рассматриваемой задачи позволяет повысить точность моделирования сложных систем. При моделировании различных процессов, включая гидродинамические процессы в мелководных водоемах, было отмечено, что при решении задач с граничными условиями третьего рода теоретическая оценка порядка погрешности аппроксимации падает со второго порядка погрешности относительно пространственных шагов расчетной сетки до первого порядка, а, следовательно, падает и точность численного решения задачи. Настоящая работа посвящена актуальной проблеме исследования влияния аппроксимации граничных условий третьего рода на точность численного решения задачи теплопроводности, а также построению разностной схемы с улучшенной аппроксимацией граничных условий для уравнения теплопроводности с граничными условиями третьего рода и сравнению точности численных решений, полученных авторами, с известными решениями.
Материалы и методы. Рассматривается уравнение теплопроводности с граничными условиями третьего рода, для которого получено аналитическое решение. Проведена аппроксимация рассмотренной задачи и показано, что при стандартной аппроксимации задачи на границе расчетной области теоретическая оценка порядка погрешности аппроксимации дифференциального оператора второго порядка в уравнении диффузии составляет O(h). Для повышения точности численного решения в случае граничных условий третьего рода специального вида предложена разностная схема, имеющая погрешность аппроксимации дифференциального оператора второго порядка O(h2), как во внутренних, так и в граничных узлах расчетной области.
Результаты исследования. На тестовых задачах проведено сравнение точности численных решений, полученных на основе предлагаемой схемы и схемы со стандартной аппроксимацией границы.
Обсуждение и заключение. Из проведенных численных экспериментов видно, что предложенная схема с улучшенной аппроксимацией на границе расчетной области для уравнения теплопроводности при граничных условиях третьего рода специального вида имеет эффективный порядок точности около 2, что соответствует полученной теоретической оценке. При этом стоит отметить, что разностная схема со стандартной аппроксимацией на границе расчетной области также имеет эффективный порядок точности, близкий к 2, несмотря на полученную теоретическую оценку порядка погрешности аппроксимации для граничных узлов. Важно отметить, что для предложенной схемы расчетная погрешность численного решения падает существенно быстрее, чем для решения на основе схемы со стандартной аппроксимацией на границе.

Введение. Исследуется численное решение двумерной гидродинамической задачи в прямоугольной каверне методом торможения и методом разгона начальных условий в переменных «функция тока — вихрь». Метод торможения применялся при числах Рейнольдса Re ≤ 3000, а метод разгона при числах Re = 8000.
Материалы и методы. Для ускорения численного решения задачи с явной разностной схемой уравнения динамики вихря использовался метод торможения начальных условий и метод n-кратного расщепления явной разностной схемы (n = 100). Метод торможения начальных условий поля скорости по сравнению с методом разгона неподвижной жидкости позволил сократить время счета задачи в 57 раз. Метод расщепления использовал максимальный шаг времени, пропорциональный квадрату координатного шага, не нарушая при этом спектральной устойчивости явной схемы в уравнении вихря. Наибольшее время программа затратила на решение уравнения Пуассона с переменными «функция тока — вихрь». Используя замороженное поле скоростей и решая только динамическое уравнение вихря, было сокращено время счета в методе расщепления. Обратная матрица для решения уравнения Пуассона за конечное число элементарных операций вычислялась библиотекой Msimsl.
Результаты исследования. Численное решение задачи показало эквивалентность методов торможения и разгона начального поля скорости при небольших числах Рейнольдса (до 3000). Численно доказана эквивалентность решения гидродинамической задачи алгоритмом в переменных «функция тока — вихрь» и алгоритмом с неявным полилинейным рекуррентным методом в случае разгона начальных условий. Впервые предложено начальное горизонтальное поле скорости, гладкое во внутренних точках и состоящее из двух синусоид с неподвижным центром масс всей жидкости в прямоугольной каверне.
Обсуждение и заключение. Предложен алгоритм численного решения двухмерной гидродинамической задачи в прямоугольной каверне в переменных «функция тока — вихрь». Аппроксимация уравнений в системе (1) имеет шестой порядок погрешности во внутренних узлах и четвертый в граничных узлах. Впервые предложен метод торможения с начальным полем горизонтальной скорости посредством гладкого соединения двух синусоид. Предложенные алгоритмы позволяют более эффективно решать задачи гидродинамики с явной разностной схемой уравнения вихря

Введение. Широкое распространение в технике объектов с движущимися границами обусловливает необходимость развития методов математического моделирования и создания алгоритмического программного обеспечения для соответствующего анализа. Настоящая работа представляет собой систематизированный обзор материалов, в которых исследуются колебательные и резонансные свойства механических систем с движущимися границами, таких как канаты подъемных устройств, гибкие передаточные механизмы, струны, стержни, балки переменной длины и т. д.
Материалы и методы. Сформулирована постановка и разработаны численные методы решения нелинейных задач, описывающих волновые процессы и резонансные свойства объектов с движущимися границами.
Результаты исследования. Проведен анализ отражения волн от движущихся границ, включая изменение их энергии и частоты. Показано, что энергия системы возрастает при движении границы навстречу волнам и убывает при совпадении направлений. Получены критерии, определяющие условия, при которых необходимо учитывать движение границ для корректного расчета амплитуд колебаний. Численные результаты демонстрируют влияние скорости движения границ и демпфирования на динамику системы.
Обсуждение и заключение. Результаты работы имеют практическое значение для проектирования и эксплуатации механических систем с переменной геометрией. Приведенные результаты позволяют на стадии проектирования предотвратить возможность возникновения колебаний большой амплитуды в механических объектах с движущимися границами. Данные задачи мало изучены и требуют дальнейшего исследования

Введение. При построении моделей в различных областях науки и техники часто используют дифференциальные уравнения. В настоящее время при решении дифференциальных уравнений все чаще применяются нейронные сети. В данной работе предложен оригинальный метод построения нейронной сети для решения эллиптических дифференциальных уравнений. Этот метод применяется при решении краевых задач для областей сложной геометрической формы.
Материалы и методы. Предлагается метод построения нейронной сети, предназначенной для решения дифференциальных уравнений в частных производных эллиптического типа. Используя замену неизвестной функции, исходная задача сводится к уравнению Лапласа. Таким образом, рассматривались нелинейные дифференциальные уравнения. При построении нейронной сети в качестве активационных функций принимаются производные от сингулярных решений уравнения Лапласа. Сингулярные точки этих решений распределены по замкнутым кривым, охватывающим границу области. При настройке весов сети минимизировалась среднеквадратическая ошибка обучения.
Результаты исследования. Представлены результаты решения первой краевой задачи для различных областей сложной геометрической формы. Результаты представлены в виде таблиц, содержащих точные решения задачи и решения, полученные с помощью нейронной сети. Дано графическое представление точного решения и решение, полученное предложенным методом.
Обсуждение и заключение. Полученные результаты доказали эффективность предложенного метода построения нейронной сети при решении различных видов дифференциальных уравнений в частных производных эллиптического типа. Данный метод может эффективно применяться при решении других типов дифференциальных уравнений с частными производными

Введение. Рассматривается научная проблема изучения природно-технических систем (ПТС) Крайнего Севера в условиях изменения климата и антропогенных воздействий. Отмечается актуальность задачи обеспечения их устойчивости, что требует комплексного анализа натурных данных. Выявлены проблемы в методах автоматизированной обработки таких специфических данных. Целью работы является разработка автоматизированных методов обработки натурных данных для выявления закономерностей. В качестве инструментов используются библиотеки Python для анализа, обработки и визуализации данных.
Материалы и методы. Описан объект исследования — Главный корпус Якутской ТЭЦ в условиях вечной мерзлоты. В качестве материалов исследования использованы натурные данные, полученные из инженерно-геологических скважин Якутской ТЭЦ, стационаров Чабыда и Туймаада, а также железнодорожного участка Амуро-Якутской магистрали (АЯМ). Данные включают измерения температуры и влажности грунтов, динамики сезонноталого слоя, характеристик снежного покрова и др. Представлена детальная последовательность автоматизированной обработки первичных данных из XLS-файлов с использованием библиотеки pandas, включая чтение, очистку, преобразование форматов, заполнение или замену значений, удаление дубликатов, а также сохранение обработанных данных в форматах CSV, JSON и XLSX.
Результаты исследования. Представлены конкретные результаты автоматизированной обработки и систематизации первичных натурных данных. Успешно выполнено приведение разнородных измерений к единому формату, обеспечивающему их корректное использование. Сформирован уникальный массив данных на основе эмпирических наблюдений в специфических условиях Крайнего Севера. Продемонстрировано практическое применение библиотек Python для выполнения основных этапов предобработки и подготовки данных.
Обсуждение и заключение. Доказано, что применение системного подхода и автоматизированной обработки данных существенно повышает качество и надежность анализа натурных данных ПТС. Устранение пропусков и нормализация данных улучшают точность, а итоговые форматы данных удобны для дальнейшего использования в моделировании. Подчеркивается универсальность применения Python. Обозначены перспективы исследования — применение методов машинного обучения, кластеризации и моделирования, предназначенных для выявления закономерностей и прогнозирования поведения природно-технических систем в условиях Крайнего Севера под воздействием климатических и антропогенных факторов