Математическое моделирование стационарных и нестационарных периодических течений с использованием различных моделей вихревой вязкости

Введение. Математическое моделирование течений является актуальной исследовательской темой в области гидродинамики и океанографии. Несмотря на непрекращающиеся исследования в области разработки точных и эффективных численных методов для решения уравнений Навье-Стокса, учитывающих вихревую вязкость, задачи точного предсказания и контроля турбулентности остаются нерешенными. Также актуальными остаются вопросы влияния нелинейных эффектов в моделях вихревой вязкости на точность прогнозов и их применимость к различным условиям течения. Целью исследования является изучение влияния линеаризованного и квадратичного донного трения и двух моделей турбулентности на численное решение стационарных и нестационарных периодических течений. Особый акцент сделан на сравнении численных результатов с аналитическими решениями в рамках использования различных моделей донного трения.

Материалы и методы. Вычислительные модели, применяемые в этом исследовании, основаны на упрощенной двумерной волновой модели и полных трехмерных уравнениях Навье-Стокса. Классическая модель движения мелкой воды и 2D-модель без учета динамического изменения геометрии поверхности водоема получены из системы уравнений для пространственно-неоднородной трехмерной математической модели волновой гидродинамики мелководного водоема. Аналитические решения были найдены путем линеаризации уравнений, что, очевидно, имеет свои ограничения. Проводится различие между нелинейностями, вызванными членами более высокого порядка в уравнениях движения (т. е. членами адвективного ускорения и трения), и геометрическими нелинейностями, связанными, например, с различной глубиной воды и шириной водоема, что будет важно при моделировании реального моря.

Результаты исследования. Представлены результаты моделирования стационарных и нестационарных периодических течений в схематизированном прямоугольном бассейне с использованием линеаризованного донного трения. Исследовано влияние линеаризации на численное решение в сравнении с аналитическими профилями, использующими модели, рассчитывающие донное трение в квадратичной формулировке. В сочетании с квадратичным трением о дно изучаются две модели турбулентности: постоянная вихревая вязкость и модель длины перемешивания Прандтля. Результаты, полученные в результате трехмерного моделирования, сравниваются с результатами двумерного моделирования и аналитическими решениями, усредненными по глубине.

Обсуждение и заключение. Предложены новые подходы к моделированию и исследованию течений с переменной вихревой вязкостью, включая анализ влияния линеаризации и использование различных моделей турбулентности. Для линеаризованной и квадратичной формулировок донного трения доказано, что численные результаты для случая стационарного течения демонстрируют большое сходство с аналитическими решениями, поскольку высота поверхности намного меньше глубины воды и адвекцией можно пренебречь. Численные результаты для нестационарного течения также показывают хорошее соответствие теории. В отличие от аналитических решений численное моделирование имеет незначительные отклонения в долгосрочной перспективе. Исследование течений, в рамках использования различных моделей турбулентности, позволит осуществить учет влияния нелинейных эффектов в моделях вихревой вязкости на точность прогнозов и их применимость к различным условиям течения. Полученные результаты позволяют лучше понять и описать физические процессы, происходящие в мелководных водоемах. Это открывает новые возможности применения математического моделирования для прогнозирования и анализа воздействия человеческой деятельности на морскую среду и для решения других задач в области океанологии и геофизики.

1. Alekseenko Е., Roux B., Sukhinov А., et. al. Nonlinear hydrodynamics in a mediterranean lagoon.Computational Mathematics and Mathematical Physics. 2017;57(6):978–994. https://doi.org/10.5194/npg-20-189-2013

2. Battjes J., Labeur R. Unsteady Flow in Open Channels. Cambridge University Press. 2017. 312 p.

3. Bijlsma A.C., Uittenbogaard R.E., Blokland T. Horizontal large eddy simulation applied to stratified tidal flows. Proceedings of the International Symposium on Shallow Flows. Delft, Netherlands. 2003:559–566.

4. Breugem W.P. The influence of wall permeability on laminar and turbulent flows. PhD thesis, Delft University of Technology. 2004.

5. Chamecki M., Chor T., Yang D., et al. Material transport in the ocean mixed layer: recent developments enabled by large eddy simulations. Rev. Geophys. 2019;57:1338–1371. https://doi.org/10.1029/2019RG000655

6. Fischer H. Mixing in Inland and Coastal Waters. Academic Press. 1979. 483 p.

7. Gushchin V.A., Mitkin V.V., Rozhdestvenskaya T.I., et al. Numerical and experimental study of the fine structure of a stratified fluid flow over a circular cylinder. Applied Mechanics and Technical Physics. 2007;48:34–43.

8. Jirka G.H. Large scale flow structures and mixing processes in shallow flows. Journal of Hydraulic Research. 2001;39(6):567–573.

9. Lorentz H.A. Sketches of his work on slow viscous flow and some other areas in fluid mechanics and the background against which it arose. Journal of Engineering Mathematics.1996;30. https://doi.org/10.1007/BF00118820

10. Smit, P. B., Janssen, T. T., and Herbers, T. H. Nonlinear wave kinematics near the ocean surface. J. Phys. Oceanogr. 2017;47:1657–1673. https://doi.org/10.1175/JPO-D-16-0281.1

11. Protsenko S.V., Protsenko E.A., Kharchenko A.V. Comparison of hydrodynamic processes modeling results in shallow water bodies based on 3D model and 2D model averaged by depth. Computational Mathematics and Information Technologies (Russia). 2023; 6(2):49–63.

12. Vasil’ev V.S., Suhinov A.I. Precision Two-Dimensional Models of Shallow Water Bodies. Matematicheskoe modelirovanie. Matematicheskoe modelirovanie. 2003;15(10):17–34.

13. Vreugdenhil C.B. Numerical Methods for Shallow-Water Flow. Springer, Berlin, Heidelberg, New York. 1994. 262 p.

14. Белоцерковский О.М. Турбулентность: новые подходы. Москва: Наука; 2003. 285 с.

15. Монин А.С. Турбулентность и микроструктура в океане. Успехи физических наук. 1973;109(2):333–354.