Разностный метод решения интегро-дифференциального уравнения параболического типа в многомерной области с неоднородными краевыми условиями первого рода

Введение. Изучается многомерное (по пространственным переменным) интегро-дифференциальное уравнение параболического типа с неоднородными граничными условиями первого рода. Построенная локально-одномерная разностная схема может быть использована при решении прикладных задач, приводящих к многомерным интегро-дифференциальным уравнениям параболического типа, например, при математическом моделировании облачных процессов, при рассмотрении проблемы активного воздействия на конвективные облака с целью предотвращения града и искусственного увеличения осадков, а также при описании функции распределения по массам капель за счет микрофизических процессов конденсации, коагуляции, дробления и замерзания капель в конвективных облаках.
Материалы и методы. В данной работе для приближенного решения начально-краевой задачи построена локально-одномерная схема А.А. Самарского с порядком аппроксимации О(h² +τ). Основной метод исследования ― метод энергетических неравенств.
Результаты исследования. Получены априорные оценки в разностной трактовке, откуда следуют единственность, устойчивость, а также сходимость решения локально-одномерной разностной схемы к решению исходной дифференциальной задачи со скоростью, равной порядку аппроксимации разностной схемы.
Обсуждение и заключения. Результаты исследования могут быть использованы для дальнейшей разработки теории краевых задач для параболических уравнений с переменными коэффициентами, а также могут найти применение в области теории разностных схем, в области вычислительной математики и численного моделирования.

1. Вайнберг М.М. Интегро-дифференциальные уравнения. Итоги науки. Серия Математический анализ. Теория вероятности Регулирование. 1964;5–37. URL: https://www.mathnet.ru/rus/intv82 (дата обращения: 16.11.2023).

2. Лаврентьев М.М. Обратные задачи и специальные операторные уравнения первого рода. Международный конгресс математиковв Ницце. Доклады советских математиков. Москва: Наука; 1972:130–136.

3. Васильев В.В. К вопросу о решении задачи Коши для одного класса линейных интегро-дифференциальных уравнений. Известия вузов. Математика. 1961;4:8–24. URL: https://www.mathnet.ru/rus/ivm1896 (дата обращения: 17.11.2023).

4. Трубин В.Г. Решение одного вырождающегося интегро-дифференциального уравнения. Дифференциальные и интегральные уравнения. Иркутск: издательство Иркутского университета. 1978;5:94–101.

5. Guezane-Lakoud A., Belakroum D. Time-discretization schema for an integrodifferential Sobolev type equation with integral conditions. Applied Mathematics and Computation. 2012;218(9):4695–4702. https://doi.org/10.1016/j.amc.2011.11.077

6. Luoa Z.D., Teng F. A reduced-order extrapolated finite difference iterative scheme based on POD method for 2D Sobolev equation. Applied Mathematics and Computation. 2018;329:374–383. https://doi.org/10.1186/s13661-019-1176-2

7. Бештоков М.Х. Численное исследование начально-краевых задач для уравнения соболевcкого типа с дробной по времени производной. Журнал вычислительной математики и математической физики. 2019;59(2):185–202. https://doi.org/10.1134/S0044466919020054

8. Grasselli M., Pata V. A reaction-diffusion equation with memory. Discrete and Continuous Dynamical Systems. Ser. A. 2006;15:1079–1088. https://doi.org/10.3934/dcds.2006.15.1079

9. Olmstead W.E., Davis S.H., Rosenblat S., Kath W.L. Bifurcation with memory. SIAM Journal on Applied Mathematics. 1986;46:171–188. https://doi.org/10.1137/0146013

10. Yong J, Zhang X. Heat equation with memory in anisotropic and non-homogeneous media. Acta Mathematica Sinica. English Ser. 2011;27:219–254. https://doi.org/10.1007/s10114-010-0077-1

11. Бештоков М.Х., Водахова В.А. Нелокальныекраевые задачи для уравнения конвекции-диффузии дробного порядка. Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2019;29(4):459–482. https://doi.org/10.20537/vm190401

12. Douglas J., Rachford H.H. On the numerical solution of heat conduction problems in two and three space variables. Trans. Amer.Math. Soc. 1956;82(2):421–43. https://doi.org/10.1090/S0002-9947-1956-0084194-4

13. Peaceman D.W., Rасhfоrd H.H. The numerical solution of parabolic and elliptic differential equations. Journal of the Society for Industrial and Applied Mathematics. 1955;3(1):28–41. https://doi.org/10.1137/0103003

14. Яненко Н.Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. Новосибирск: Наука. Сибирское отделение; 1967. 194 с.

15. Самарский А.А. Об одном экономичном разностном методе решения многомерного параболического уравнения в произвольной области. Журнал вычислительной математики и математической физики. 1962;2(5):787–811. https://doi.org/10.1016/0041-5553(63)90504-4

16. Марчук Г.И. Методы расщепления. Москва: Наука; 1988. 263 с.

17. Дьяконов Е.Г. Разностные схемы с расщепляющимся оператором для многомерных нестационарных задач. Журнал вычислительной математики и математической физики. 1962;2(4):549–568. https://doi.org/10.1016/0041-5553(63)90531-7

18. Бештокова З.В., Шхануков-Лафишев М.Х. Локально-одномерная разностная схема третьей краевой задачи для параболического уравнения общего вида с нелокальным источником. Дифференциальные уравнения. 2018;54(7):891–901. https://doi.org/10.1134/S0374064118070051

19. Бештокова З.В. Локально-одномерная разностная схема для решения одной нелокальной краевой задачи для параболического уравнения в многомерной области. Дифференциальные уравнения. 2020;56(3):366–379. https://doi.org/10.1134/S0374064120030085

20. Бештокова З.В. Численный метод решения начально-краевой задачи для многомерного нагруженного параболического уравнения общего вида с условиями третьего рода. Вестник Самарского государственного технического университетата. Серия Физико-математические науки. 2022;26(1):7–35. https://doi.org/10.14498/vsgtu1908

21. Самарский А.А. Теория разностных схем. Москва: Наука; 1983. 614 с.

22. Алиханов А.А. Об устойчивости и сходимости нелокальных разностных схем. Дифференциальные уравнения. 2010;46(7):942–954. https://doi.org/10.1134/S0012266110070037

23. Самарский А.А., Гулин, А.В. Устойчивость разностных схем. Москва: Наука; 1973. 415 с.