Применение нейронных сетей для решения задачи Дирихле для областей сложной формы

Аннотация

Введение. Многие задачи в математике сводятся к решению дифференциальных уравнений в частных производных для областей сложной формы. Не всегда существующие аналитические и численные методы позволяют эффективно получить решение подобных задач. В последнее время достаточно успешно для решения дифференциальных уравнений в частных производных применяются нейронные сети. При этом обычно рассматриваются краевые задачи для областей, имеющих простую форму. В данной работе предпринимается попытка построить нейронную сеть, способную эффективно решать краевые задачи для областей сложной формы.
Материалы и методы. Предлагается метод построения нейронной сети для решения задачи Дирихле для областей сложной формы. В качестве активационных функций принимаются производные от сингулярных решений уравнения Лапласа. Сингулярные точки этих решений распределены по замкнутым кривым, охватывающих границу области. Настройка весов сети сводится к минимизации среднеквадратической ошибки обучения.
Результаты исследования. Представлены результаты решения задач Дирихле для различных областей сложной формы. Результаты представлены в виде таблиц, содержащих точное решение и решение, полученное при помощи нейронной сети. На рисунках представлен вид областей и расположение точек, в которых определялось решение.
Обсуждение и заключения. Представленные результаты свидетельствуют о хорошем совпадении полученного решения с точным. Отмечается, что данный метод легко применим к различным краевым задачам. Указываются способы повышения эффективности подобных нейронных сетей.