Модифицированный метод Бубнова-Галеркина для решения краевых задач с линейным обыкновенным дифференциальным уравнением

   Введение. Рассматривается решение краевых задач на отрезке с линейными обыкновенными дифференциальными уравнениями, в которых коэффициенты и правая часть являются непрерывными функциями. Условия ортогональности невязки уравнения координатным функциям дополняются системой линейно независимых краевых условий задачи. Число координатных функций m должно быть больше порядка n дифференциального уравнения.

   Материалы и методы. Для численного решения краевой задачи предложена система линейно независимых координатных функций на симметричном отрезке [–1,1] с единичной нормой Чебышева каждой функции системы. Применен модифицированный метод Петрова-Галеркина с включением линейно независимых краевых условий исходной задачи в систему линейных алгебраических уравнений. Применена интегральная квадратурная формула с двенадцатым порядком погрешности для вычисления скалярного произведения двух функций.

   Результаты исследования. Получен критерий существования и единственности решения краевой задачи, при условии, что известны n линейно независимых решений однородного дифференциального уравнения. Получены формулы для матричных коэффициентов и коэффициентов правой части системы линейных алгебраических
уравнений для вектора разложения решения по системе координатных функций. Формулы получены для линейных дифференциальных уравнений второго и третьего порядков. Модифицированный метод Бубнова-Галеркина сформулирован для уравнения произвольного порядка.

   Обсуждение и заключение. Полученные формулы обобщенного метода Бубнова-Галеркина могут быть полезными для решения краевых задач с линейными обыкновенными дифференциальными уравнениями. Численно решены три краевых задачи с уравнениями второго и третьего порядков, равномерная норма невязки не превышает 10^–11.

1. Морозова Е.А. Разрешимость краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика. 2010;3(3):46–50.

2. Абдуллаев А.Р., Скачкова Е.А. Об одной многоточечной краевой задаче для дифференциального уравнения второго порядка. Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика. 2014;2(25):5–9.

3. Ершова Т.Я. Краевая задача для дифференциального уравнения третьего порядка с сильным пограничным слоем. Вестник Московского университета. Серия 15: Вычислительная математика и кибернетика. 2020;1:30–39.

4. Ершова Т.Я. О сходимости сеточного решения задачи для уравнения третьего порядка в случае сильного пограничного слоя. В: «Ломоносовские чтения: научная конференция». Москва: ООО «МАКС Пресс»; 2020. С. 77–78.

5. Бахвалов Н.С. Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы : учебное пособие для студентов физико-математических специальностей высших учебных заведений. Московский гос. ун-т им. М.В. Ломоносова. Москва: Бином. Лаборатория знаний; 2011. 636 с.

6. Бахвалов Н.С., Лапин А.В., Чижонков Е.В. Численные методы в задачах и упражнениях. Москва: БИНОМ. Лаборатория знаний; 2010. 240 с.

7. Алексеев В.М., Галеев Э.М., Тихомиров В.М. Сборник задач по оптимизации: Теория. Примеры. Задачи. Москва: Физматлит; 2008. 256 с.

8. Пастухов Д.Ф., Пастухов Ю.Ф., Волосова Н.К. Численные методы. Лекции. Численный практикум. Новополоцк; 2021. 237 с.

9. Пикулин В.П., Похожаев С.И. Практический курс по уравнениям математической физики. Москва: МЦНМО; 2004. 208 с.

10. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. Москва : URSS, 2009. 176 c.