Увеличение точности решения краевых задач с линейными обыкновенными дифференциальными уравнениями методом Бубнова-Галеркина

Введение. Исследуется возможность увеличения точности численного решения краевой задачи модифицированным методом Бубнова-Галеркина с линейным обыкновенным дифференциальным уравнением, в котором коэффициенты и правая часть являются непрерывными функциями. Порядок дифференциального уравнения n должен быть меньше числа координатных функций m.

Материалы и методы. Для численного решения краевой задачи использован модифицированный метод Петрова-Галеркина с системой линейно независимых базисных функций степенного вида на отрезке [–1,1] с единичной нормой Чебышева для каждой функции системы. В систему линейных алгебраических уравнений включены только линейно независимые краевые условия исходной задачи.

 Результаты исследования. Впервые построена интегральная квадратурная формула на равномерной сетке с двадцать вторым порядком погрешности для вычисления элементов матрицы и коэффициентов правой части системы линейных алгебраических уравнений с учетом скалярного произведения двух функций по новой квадратурной формуле. Доказана теорема существования и единственности решения краевой задачи с неразделенными краевыми условиями общего вида, если известны n линейно независимых частных решений однородного дифференциального уравнения порядка n.

Обсуждение и заключение. Точно решена гидродинамическая задача в вязком сильном пограничном слое с уравнением третьего порядка. Аналитическое решение сравнено с численным решением, равномерная норма разности решений не превышает 5·10^‒15. Полученные обобщенным методом Бубнова-Галеркина формулы могут быть полезными для решения краевых задач с линейными обыкновенными дифференциальными уравнениями третьего и более высоких порядков.

1. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы: учебное пособие для студентов физикоматематических специальностей высших учебных заведений. Москва: Бином. Лаборатория знаний; 2011. 636 с.

2. Ершова Т.Я. Краевая задача для дифференциального уравнения третьего порядка с сильным пограничным слоем. Вестник Московского университета. Серия 15: Вычислительная математика и кибернетика. 2020;1:30–39. https://doi.org/10.3103/S0278641920010057

3. Ершова Т.Я. О сходимости сеточного решения задачи для уравнения третьего порядка в случае сильного пограничного слоя. В: Тезисы докладов научной конференции «Ломоносовские чтения». Москва: МАКС Пресс; 2020. С. 77–78.

4. Волосова Н.К., Волосов К.А., Волосова А.К., Пастухов Д.Ф., Пастухов Ю.Ф. Модифицированный метод Бубнова-Галеркина для решения краевых задач с линейным обыкновенным дифференциальным уравнением. Computational Mathematics and Information Technologies. 2024;8(3):23–33. https://doi.org/10.23947/2587-8999-2024-8-3-23-33

5. Бахвалов Н.С., Лапин А.В., Чижонков Е.В. Численные методы в задачах и упражнениях. Москва: БИНОМ. Лаборатория знаний; 2010. 240 с.

6. Петров А.Г. Высокоточные численные схемы решения плоских краевых задач для полигармонического уравнения и их применение к задачам гидродинамики. Прикладная математика и механика. 2023;87(3):343–368. https://doi.org/10.31857/S0032823523030128

7. Проскурин Д.К., Сысоев Д.В., Сазонова С.А. Сходимость вычислительного процесса при реализации вариационного метода решения краевой задачи гидродинамики. Вестник Воронежского государственного технического университета. 2021;17(3):14–19. https://doi.org/10.36622/VSTU.2021.17.3.0027.

8. Сидорякина В.В., Соломаха Д.А. Симметризованные варианты методов Зейделя и верхней релаксации решения двумерных разностных задач эллиптического типа. Computational Mathematics and Information Technologies. 2023;7(3):12–19. https://doi.org/10.23947/2587-8999-2023-7-3-12-19

9. Алексеев В.М., Галеев Э.М., Тихомиров В.М. Сборник задач по оптимизации: Теория. Примеры. Задачи. Москва: Физматлит; 2008. 256 с.