Применение нейронных сетей для решения нелинейных краевых задач для областей сложной формы
https://doi.org/10.23947/2587-8999-2024-8-4-35-42
Аннотация
Введение. Многие практически важные задачи сводятся к нелинейным дифференциальным уравнениям. В настоящей работе рассмотрен один из вариантов применения нейронных сетей к решению некоторых нелинейных краевых задач для областей сложной формы, а именно к решению стационарного дифференциального уравнения теплопроводности с коэффициентом теплопроводности, зависящим от температуры.
Материалы и методы. Исходная нелинейная краевая задача сводится к линейной с помощью преобразования Кирхгофа. Нейронная сеть строится для решения полученной линейной краевой задачи. При этом в качестве активационных функций принимаются производные от сингулярных решений уравнения Лапласа, а сингулярные точки этих решений распределены по замкнутым кривым, охватывающим границу области. Для настройки весов сети минимизировалась среднеквадратическая ошибка обучения.
Результаты исследования. Получены результаты решения задачи теплопроводности для различных областей сложной формы и различных форм зависимости коэффициента теплопроводности от температуры. Полученные результаты представлены в виде таблиц, которые содержат точное решение и решение, полученное при помощи нейронной сети.
Обсуждение и заключение. По результатам проведенных расчетов можно сделать вывод о том, что предложенный метод является достаточно эффективным для решения указанного типа краевых задач. Использование в качестве активационных функций производных от сингулярных решений уравнения представляется весьма перспективным.
При поддержке: Автор выражает благодарность сотрудникам редакции за указанные замечания по оформлению, которые позволили сделать статью более удобной для восприятия
Об авторе
А. В. Галабурдин
Донской государственный технический университет
Россия
Россия
Александр Васильевич Галабурдин - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики и информатики
344003, г. Ростов-на-Дону, пл. Гагарина, 1
Список литературы
1. Колмогоров А.Н. О представлении непрерывных функций нескольких переменных в виде суперпозиций непрерывных функций одного переменного и сложения. Доклады Академии наук СССР. 1957;114(5):953–956.
2. Варшавчик Е.А., Галяутдинова А.Р., Седова Ю.С., Тархов Д.А. Решение дифференциальных уравнений в частных производных для областей с постоянными границами. В: Сборник статей по материалам третьей всероссийской научно-практической конференции «Искусственный интеллект в решении актуальных социальных и экономических проблем ХХI века». Пермь: издательство ПГНИУ; 2018. С. 294.
3. Епифанов А.А. Применение методов глубокого обучения для решения дифференциальных уравнений в частных производных. Успехи кибернетики. 2020;1(4):22–28. https://doi.org/10.51790/2712-9942-2020-1-4-3
4. Cai S., Wang Z., Wang S., Perdikaris P., Karniadakis G.E. Physics-informed neural networks for heat transfer problems. Journal of Heat Transfer. 2021;143(6):060801. https://doi.org/10.1115/1.4050542
5. Корсунов Н.И., Ломакин А.В. Моделирование процессов, описываемых волновым дифференциальным уравнением, с использованием ячеистых нейронных сетей. Научные ведомости. Серия: История. Политология. Экономика. Информатика. 2014;15(186):103–107.
6. Raissia M., Perdikaris P., Karniadakis G.E. Physics-informed neural networks: A deep learning framework for solving forward and inverse problems involving nonlinear partial differential equations. Journal of Computational Physics. 2019;378:686–707.
7. Зрелова Д.П., Ульянов С.В. Модели физически информированных/осведомленных классических Лагранжевых/Гамильтоновых нейронных сетей в глубоком обучении. Современные информационные технологии и ИТобразование. 2022;18(2):310–325. https://doi.org/10.25559/SITITO.18.202202.310-325
8. Шевкун С.А., Самойлов Н.С. Применение нейросетевого подхода к решению прямых и обратных задач рассеяния. Вестник инженерной школы ДВФУ. 2021;2(47):210–225.
9. Горбаченко В.И., Жуков М.В. Решение краевых задач математической физики с помощью сетей радиальных базисных функций. Журнал вычислительной математики и математической физики. 2017;57(1):133–143.
10. Кузнецов К.С., Амосова Е.В. Численное решение системы уравнений Навье-Стокса в случае сжимаемой среды с использованием нейронных сетей. Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2024;67:31–41. https://doi.org/10.17223/19988605/67/4
11. Almajid M. Abu-Alsaud M. Prediction of porous media fluid flow using physics informed neural networks. Journal of Petroleum Science and Engineering. 2021;208:109205. https://doi.org/10.1016/j.petrol.2021.109205
12. Eivazi H.,Tahani M., Schlatter P., Vinuesa R. Physics-informed neural networks for solving Reynolds-averaged Navier-Stokes equations. Physics of Fluids. 2022;34(7):075117. https://doi.org/10.1063/5.0095270
13. Kansa E.J. Motivation for using radial basis functions to solve PDEs. URL: http://uahtitan.uah.edu/kansaweb.html (accessed: 28.11.2024).
14. Kansa E.J. Multiquadrics . A scattered data approximation scheme with applications to computational fluid-dynamics. II. Solutions to parabolic, hyperbolic and elliptic partial differential equations. Comput. Math. Appl. 1990;19(8):47–161.
15. Галабурдин А.В. Применение нейронных сетей для решения задачи Дирихле для областей сложной формы. Computational Mathematics and Information Technologies. 2024;8(2):68‒79. https://doi.org/10.23947/2587-8999-2024-8-2-68-79
16. Бреббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. Методы граничных элементов. Москва: Мир; 1987. 524 с.
17. Аккuranov Yu.N., Mikhailov V.N. The method of boundary integral equations for solving nonlinear heat transmission problem. USSR Comput. Maths. Math. Phys.1980;20:117‒125
Рецензия
Для цитирования:
Галабурдин А.В. Применение нейронных сетей для решения нелинейных краевых задач для областей сложной формы. Computational Mathematics and Information Technologies. 2024;8(4):35-42. https://doi.org/10.23947/2587-8999-2024-8-4-35-42
For citation:
Galaburdin A.V. Application of Neural Networks for Solving Nonlinear Boundary Problems for Complex-Shaped Domains. Computational Mathematics and Information Technologies. 2024;8(4):35-42. https://doi.org/10.23947/2587-8999-2024-8-4-35-42
Просмотров:
97
Послать статью по эл. почте 