Решение краевых задач для некоторых нелинейных дифференциальных уравнений методом Бубнова-Галеркина

Введение. Исследуется возможность численного решения модифицированным  методом  Бубнова-Галеркина краевой задачи с нелинейным дифференциальным уравнением, непрерывными коэффициентами и правой частью. В постановке задачи частные производные коэффициентов уравнения являются непрерывными функциями по всем аргументам. Порядок нелинейного дифференциального уравнения n строго меньше числа координатных функций m. Материалы и методы. Для численного решения нелинейной краевой задачи использован модифицированный метод Петрова-Галеркина и идея единственности разложения гладкой функции по системе линейно независимых базисных функций степенного вида на отрезке [–1,1] с единичной нормой Чебышева для каждой функции системы. В систему линейных алгебраических уравнений включены линейно независимые краевые условия. При этом элементы матрицы и правая часть системы зависят от индекса простой итерации s. От индекса s зависит и вектор коэффициентов разложения решения по базисным функциям. Обратная матрица системы находилась библиотекой линейной алгебры Msimsl на языке Fortran.

Результаты исследования. Сформулированы достаточные условия существования и единственности решения краевой задачи с нелинейным дифференциальным уравнением методом простой итерации. При выполнении достаточных условий коэффициенты разложения абсолютно уменьшаются с ростом номера базисной функции.

Обсуждение и заключение. Точно решены три краевых задачи с нелинейным уравнением второго порядка и одна задача с уравнением третьего порядка. Аналитические решения сравнены с численными решениями, равномерная норма разности имеет порядок 10^‒13, 10^‒11, 10^‒10, 10^‒10  соответственно. Модифицированный метод Бубнова-Галеркина позволяет находить решение каждой ветви многозначной функции в краевых задачах с нелинейными дифференциальными уравнениями.

1. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы: учебное пособие для студентов физико-математических специальностей высших учебных заведений. Москва: Бином. Лаборатория знаний; 2011. 636 с.

2. Ершова Т.Я. Краевая задача для дифференциального уравнения третьего порядка с сильным пограничным слоем. Вестник Московского университета. Серия 15: Вычислительная математика и кибернетика. 2020;1:30–39. https://doi.org/10.3103/S0278641920010057

3. Морозова Е.А. Разрешимость краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика. 2010;3(3):46–50.

4. Волосова Н.К., Волосов К.А., Волосова А.К., Пастухов Д.Ф., Пастухов Ю.Ф. Модифицированный метод Бубнова-Галеркина для решения краевых задач с линейным обыкновенным дифференциальным уравнением. Computational Mathematics and Information Technologies. 2024;8(3):23–33. https://doi.org/10.23947/2587-8999-2024-8-3-23-33

5. Волосова Н.К., Волосов К.А., Волосова А.К., Карлов М.И., Пастухов Д.Ф., Пастухов Ю.Ф. Увеличение точности решения краевых задач с линейными обыкновенными дифференциальными уравнениями методом Бубнова-Галеркина. Computational Mathematics and Information Technologies. 2024;8(4):7–18. https://doi.org/10.23947/2587-8999-2024-8-4-7-18

6. Бахвалов Н.С., Лапин А.В., Чижонков Е.В. Численные методы в задачах и упражнениях. Москва: БИНОМ. Лаборатория знаний; 2010. 240 с.

7. Петров А.Г. Высокоточные численные схемы решения плоских краевых задач для полигармонического уравнения и их применение к задачам гидродинамики. Прикладная математика и механика. 2023;87(3):343–368. https://doi.org/10.31857/S0032823523030128

8. Сухинов А.И., Колгунова О.В., Гирмай М.З., Нахом О.С. Двумерная гидродинамическая модель прибрежных систем, учитывающая испарение. Computational Mathematics and Information Technologies. 2023;7(4):9–21. https://doi.org/10.23947/2587-8999-2023-7-4-9-21

9. Галабурдин А.В. Применение нейронных сетей для решения задач Дирихле для областей сложной формы. Computational Mathematics and Information Technologies. 2024;8(2):68–79. https://doi.org/10.23947/2587-8999-2023-7-4-9-21

10. Сидорякина В.В., Соломаха Д.А. Симметризованные варианты методов Зейделя и верхней релаксации решения двумерных разностных задач эллиптического типа. Computational Mathematics and Information Technologies. 2023;7(3):12–19. https://doi.org/10.23947/2587-8999-2023-7-3-12-19

11. Алексеев В.М., Галеев Э.М., Тихомиров В.М. Сборник задач по оптимизации: Теория. Примеры. Задачи. Москва: Физматлит; 2008. 256 с.

12. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. Москва: Физматлит; 2012. 572 с.