Достаточные условия сходимости решений линеаризованной задачи к решению исходной нелинейной задачи транспорта многофракционных наносов в зоне мелководья

Введение. Рассматривается пространственно-двумерная модель транспорта наносов многофракционного состава, ориентированная на зоны мелководья. Для описания этого процесса может быть использована начальнокраевая задача для параболического уравнения с нелинейными коэффициентами. Ее исследование проводится с помощью линеаризации на временной сетке с шагом τ, при которой нелинейные коэффициенты рассчитываются «с запаздыванием» на предыдущем временном слое. Для линеаризованной задачи транспорта многофракционных наносов ранее были определены условия корректности, построена и исследована консервативная устойчивая разностная схема, численно реализованная для модельных и реальных задач (Азовское море и Таганрогский залив, Цимлянское водохранилище). Однако вопросы сходимости решений линеаризованной задачи к решению исходной нелинейной начально-краевой задачи транспорта многофракционных наносов пока оставались не рассмотренными. Результаты исследований, представленные в данной работе, восполняют этот пробел. Ранее автором совместно с А.И. Сухиновым удалось провести аналогичные исследования для случая, когда фракционный состав наносов не учитывается. Эти исследования легли в основу для получения нового результата.

Материалы и методы. Получение неравенств, гарантирующих сходимость решений цепочки линеаризованных задач к решению исходных нелинейных задач, проводится методом математической индукции с привлечением теории дифференциальных уравнений.

Результаты исследования. Определены условия сходимости решений линеаризованной задачи транспорта наносов многофракционного состава к решению нелинейной задачи в норме банахового пространства L₁ со скоростью O(τ).

Обсуждение и заключение. Полученные результаты исследования могут быть использованы при прогнозировании нелинейных гидрофизических процессов, повышения их точности и надежности в силу наличия новых функциональных возможностей учета физически важных факторов.

1. Sukhinov A.I., Chistyakov A.E., Sidoryakina V.V. Parallel Solution of Sediment and Suspension Transportation Problems on the Basis of Explicit Schemes. Communications in Computer and Information Science. 2018;910:306–321. https://doi.org/10.1007/978-3-319-99673-8_22

2. Сухинов А.И., Сидорякина В.В. Математическая нелинейная пространственно-двумерная модель транспорта многокомпонентных наносов в мелководных водоемах и ее линеаризация. Вестник Таганрогского института имени А.П. Чехова. 2018;2:242–245.

3. Сидорякина В.В. Существование и единственность решения начально-краевой задачи транспорта многокомпонентных наносов прибрежных морских систем. Computational Mathematics and Information Technologies. 2023;7(2):73–80. https://doi.org/10.23947/2587-8999-2023-7-2-73-80

4. Сидорякина В.В. Непрерывная зависимость решений линеаризованной начально-краевой задачи транспорта многокомпонентных наносов от входных данных задачи. Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 2024;1(221):30–37. https://doi.org/10.18522/1026-2237-2024-1-30-37

5. Сидорякина В.В., Сухинов А.И. Исследование корректности и численная реализация линеаризованной двумерной задачи транспорта наносов. Журнал вычислительной математики и математической физики. 2017;57(6):985–1002. https://doi.org/10.7868/S0044466917060138

6. Сухинов А.И., Сидорякина В.В., Сухинов А.А. Достаточные условия сходимости положительных решений линеаризованной двумерной задачи транспорта наносов. Вестник Донского государственного технического университета. 2017;17(1):5–17. https://doi.org/10.23947/1992-5980-2017-17-1-5-17

7. Сухинов А.И., Сидорякина В.В. О единственности решения линеаризованной двумерной начально-краевой задачи транспорта наносов. Вестник Таганрогского института имени А.П. Чехова. 2016;2:270–274.

8. Сухинов А.И., Сидорякина В.В., Сухинов А.А. Линеаризация пространственно-двумерной задачи транспорта наносов и ее сходимость к исходной нелинейной задаче. В: Труды международной конференции «Современные проблемы математической физики и вычислительной математики». Москва: МАКС Пресс; 2016. C. 113.

9. Сухинов А.И, Сидорякина В.В. О сходимости решения линеаризованной последовательности задач к решению нелинейной задачи транспорта наносов. Математическое моделирование. 2017;29(11):19–39.

10. Sukhinov A.I., Sidoryakina V.V. Convergence of linearized sequence tasks to the nonlinear sediment transport task solution. Mat. Model. 2017;29(11):19–39.

11. Сухинов А.И., Проценко Е.А., Чистяков А.Е., Шретер С.А. Сравнение вычислительных эффективностей явной и неявной схем для задачи транспорта наносов в прибрежных водных системах. В: Труды международной научной конференции «Параллельные вычислительные технологии (ПаВТ’2015)». Челябинск: Издательский центр ЮУрГУ; 2015. С. 297–307.

12. Сухинов А.И., Чистяков А.Е., Проценко Е.А. Построение дискретной двумерной математической модели транспорта наносов. Известия ЮФУ. Технические науки. 2011;8(121): 32–44.

13. Сухинов А.И., Чистяков А.Е., Бондаренко Ю.С. Оценка погрешности решения уравнения диффузии на основе схем с весами. Известия ЮФУ. Технические науки. 2011;8(121):6–13.

14. Sidoryakina V.V. Efficient algorithms for the numerical solution of the coupled sediment and suspended matter transport problems in coastal systems. Atlantis Press. Series: Atlantis Highlights in Computer Sciences. 2019;3:243–248. https://doi.org/10.2991/csit-19.2019.42

15. Sukhinov A.I., Chistyakov A.E., Protsenko S.V., Sidoryakina, V.V. Coupled 3D wave and 2D bottom deposit transportation models for the prediction of harmful phenomena in coastal zone. Trends in the Analysis and Design of Marine Structures. 2019. P. 597–603. https://doi.org/10.1201/9780429298875

16. Sukhinov A., Chistyakov A., Sidoryakina V. Investigation of nonlinear 2D bottom transportation dynamics in coastal zone on optimal curvilinear boundary adaptive grids. MATEC Web of Conferences. 2017;132:04003. https://doi.org/10.1051/matecconf/201713204003