Многостадийный сеточно-характеристический метод повышенного порядка точности для задач акустики

Введение. Сейсмическая разведка является широко применяемой технологией поиска месторождений углеводородов. Важным этапом данного процесса является расчёт распространения сейсмических волн в геологической модели среды с заданными физическими характеристиками. Ввиду высокой вычислительной сложности задачи на практике активно используется акустическое приближение, позволяющее корректно описать распространение продольных волн. Наиболее часто для сейсмического моделирования используются конечно-разностные схемы на сдвинутых кубических расчётных сетках. Несмотря на простоту их реализации и высокую вычислительную эффективность, такие подходы демонстрируют недостаточную точность при моделировании сложных геологических структур, включая криволинейные границы раздела геологических слоёв. Перспективным направлением является разработка новых вычислительных методов высокого порядка точности на криволинейных расчётных сетках. В настоящей работе представлен устойчивый сеточно-характеристический метод пятого порядка аппроксимации, успешно применённый для решения задачи о распространении акустических волн в двумерной постановке.

Материалы и методы. Используется сеточно-характеристический метод с интерполяционным полиномом пятой степени, построенном на расширенном пространственном шаблоне. Выделен класс криволинейных сеток, позволяющий сохранить достигнутую при решении одномерной задачи точность расчёта. При этом с помощью метода многошагового расщепления удается сохранить порядок схемы по времени и по пространству в многомерной постановке.

Результаты исследования. Представлены формулы вычислительного алгоритма, эмпирически подтверждено достижение заявленного порядка сходимости, рассчитаны волновые картины динамического процесса.

Обсуждение. Результаты расчётов демонстрируют меньшую численную диссипацию предложенного вычислительного алгоритма. Платой за это является значимое увеличение времени расчёта.

Заключение. Разработанный расчётный алгоритм обеспечивает высокую точность расчёта сейсмических фронтов, что критически важно в задачах сейсморазведки в слоистых геологических массивах.

1. Kallivokas L.F., Fathi A., Kucukcoban S., Stokoe II K.H., Bielak J., Ghattas O. Site characterization using full waveform inversion. Soil Dynamics and Earthquake Engineering. 2013;47:62–82. http://dx.doi.org/10.1016/j.soildyn.2012.12.012

2. Yun Zhao, Xiaotao Wen, Chunlan Xie, Bo Li, Chenlong Li, Xiao Pan, et al. Simultaneous seismic inversion of effective stress parameter, fluid bulk modulus, and fracture density in TTI media. Petroleum Science. 2025. https://doi.org/10.1016/j.petsci.2025.04.002

3. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. Москва: Наука; 1978. 592 с.

4. Matzen R. An efficient finite element time-domain formulation for the elastic second-order wave equation: A non-split complex frequency shifted convolutional PML. International Journal for Numerical Methods in Engineering. 2011;88(10):951–973. https://doi.org/10.1002/nme.3205

5. Antonietti P.F., Mazzieri I., Migliorini F. A discontinuous Galerkin time integration scheme for second order differential equations with applications to seismic wave propagation problems. Computers & Mathematics with Applications. 2023;134:87–100. https://doi.org/10.48550/arXiv.2112.01792

6. Komatitsch D., Tromp J. Introduction to the spectral element method for three-dimensional seismic wave propagation. Geophysical Journal International. 1999;139(3):806–822. https://doi.org/10.1046/J.1365-246X.1999.00967.X

7. Магомедов К.М., Холодов А.С. Сеточно-характеристические численные методы: учебник для вузов. 2-е изд., испр. и доп. Москва: Юрайт; 2025. 313 с.

8. Petrov I.B., Favorskaya A.V., Muratov M.V., Biryukov V.A., Sannikov A.V. Grid-characteristic method on unstructured tetrahedral grids. Doklady Mathematics. 2014;90:781–783. https://doi.org/10.1134/S1064562414070254

9. Favorskaya A.V., Petrov I.B. A study of high-order grid-characteristic methods on unstructured grids. Numerical Analysis and Applications. 2016;9:171–178. https://doi.org/10.1134/S1995423916020087

10. Favorskaya A.V., Zhdanov M.S., Khokhlov N.I., Petrov I.B. Modelling the wave phenomena in acoustic and elastic media with sharp variations of physical properties using the grid-characteristic method. Geophysical Prospecting. 2018;66(8):1485–1502. https://doi.org/10.1111/1365–2478.12639

11. Favorskaya A.V., Petrov I.B. The use of full-wave numerical simulation for the investigation of fractured zones. Mathematical Models and Computer Simulations. 2019;11:518‒530. https://link.springer.com/article/10.1134/S2070048219040069

12. Favorskaya A.V., Petrov I.B. Inverse Problem of Determining the Strength Characteristics of Multi-Story Buildings on Piles. Lobachevskii Journal of Mathematics. 2025;46(1):202–213. https://doi.org/10.1134/S1995080224608555

13. Kozhemyachenko A.A., Petrov I.B., Favorskaya A.V., Khokhlov N.I. Boundary conditions for modeling the impact of wheels on railway track. Computational Mathematics and Mathematical Physics. 2020;60:1539–1554. https://link.springer.com/article/10.1134/S0965542520090110

14. Favorskaya A.V., Khokhlov N.I., Petrov I.B. Grid-characteristic method on joint structured regular and curved grids for modeling coupled elastic and acoustic wave phenomena in objects of complex shape. Lobachevskii Journal of Mathematics. 2020;41:512–525. https://doi.org/10.1134/S1995080220040083

15. Khokhlov N., Favorskaya A., Stetsyuk V, Mitskovets I. Grid-characteristic method using Chimera meshes for simulation of elastic waves scattering on geological fractured zones. Journal of Computational Physics. 2021;446:110637. https://doi.org/10.1016/j.jcp.2021.110637

16. Khokhlov N.I., Favorskaya A., Furgailo V. Grid-characteristic method on overlapping curvilinear meshes for modeling elastic waves scattering on geological fractures. Minerals. 2022;12(12):1597. https://doi.org/10.3390/min12121597

17. Pesnya E., Kozhemyachenko A.A., Favorskaya A.V. Vibration Analysis of Frost Heaving of the Ice Lens Type on Railways by a Grid-Characteristic Method. Lobachevskii Journal of Mathematics. 2025;46(1):317–325. https://doi.org/10.1134/S1995080224608270

18. Petrov I., Vasyukov A., Beklemysheva K., Ermakov A., Favorskaya A. Numerical modeling of non-destructive testing of composites. Procedia Computer Science. 2016;96:930–938. https://doi.org/10.1016/j.procs.2016.08.272

19. Yao Gang, da Silva N.V., Debens H.A., Wu Di. Accurate seabed modeling using finite difference methods. Computational Geosciences. 2018;22:469–84. https://doi.org/10.1007/s10596-017-9705-5

20. van Vossen R., Robertsson J.O., Chapman C.H. Finite-difference modeling of wave propagation in a fluid-solid configuration. Geophysics. 2002;67(2):618–24. https://doi.org/10.1190/1.1468623

21. Sun Yaochong, Zhang Wei, Xu Jiankuan, Chen Xiaofei. Numerical simulation of 2-D seismic wave propagation in the presence of a topographic fluid–solid interface at the sea bottom by the curvilinear grid finite-difference method. Geophysical Journal International. 2017;210(3):1721–1738. https://doi.org/10.1093/gji/ggx257

22. Golubev V.I., Shevchenko A.V., Petrov I.B. Raising convergence order of grid-characteristic schemes for 2D linear elasticity problems using operator splitting. Computer Research and Modeling. 2022;14(4):899–910. https://doi.org/10.20537/2076-7633-2022-14-4-899-910

23. Mi Xin, Golubev V. Two-Dimensional Grid-Characteristic Schemes for Acoustic Wave Simulations. Lobachevskii Journal of Mathematics. 2025;46:283–291. https://doi.org/10.1134/S199508022460852X

24. Auzinger W., Hofstätter H., Ketcheson D., Koch O. Practical splitting methods for the adaptive integration of nonlinear evolution equations. Part I: Construction of optimized schemes and pairs of schemes. BIT. Numerical Mathematics. 2017;57:55–74. https://doi.org/10.1007/s10543-016-0626-9