Аппроксимация граничных условий второго и третьего рода в краевых задачах для уравнений конвекции-диффузии c приложением к экологической гидрофизике

Введение. Рассматривается разностная схема, аппроксимирующая краевую задачу для уравнения параболического типа в трехмерной постановке с условиями на границе I–III рода. Данная статья является дополнением к предыдущим работам авторов, посвященным численному решению одной из актуальных задач гидрофизики зон морского мелководья — задаче переноса, осаждения (транспорта) и трансформации взвешенного вещества. Аппроксимация указанного класса задач внутри области приводит к схемам, сходящимся со скоростью O(τ + h²), где h² = h²_x + h²_y + h²_z, h_x, h_y, h_z и τ – шаги разностной сетки по пространственным координатам x, y, z и времени соответственно. При этом требует аккуратного рассмотрения случай граничных условий, поскольку при неудачной их аппроксимации может понизиться порядок аппроксимации разностной схемы в целом. Предложенные авторами методы аппроксимации граничных условий обеспечивают сходимость разностной схемы со скоростью O(τ + h²).

Материалы и методы. В своих исследованиях авторами сделан акцент на аппроксимации граничных условий третьего рода (аппроксимация граничных условий второго рода рассматривается как их частный случай). Ориентиром служит аппроксимация указанных граничных условий по формуле центральных разностей с последующим дифференцированием обеих частей уравнений диффузии-конвекции и исключением из полученных выражений функций решения в фиктивных узлах расширенной сетки.

Результаты исследования. Построены аппроксимации граничных условий II–III рода для краевой задачи, описывающей транспорт частиц взвешенного вещества, обеспечивающие сходимость разностной схемы со скоростью O(τ + h²).

Обсуждение. Работа может быть полезна в задачах диффузии-конвекции, где необходимо добиться численного решения с приемлемой точностью.

Заключение. Дальнейшие исследования авторов могут быть направлены на исследование построенных разностных схем с учетом физически мотивированных ограничений на шаг временной сетки τ и сеточное число Пекле.

1. Сухинов А.И., Чистяков А.Е., Бондаренко Ю.С. Оценка погрешности решения уравнения на основе схем с весами. Известия ЮФУ. Технические науки. 2011;8(121):6–13.

2. Сухинов А.И., Чистяков А.Е., Проценко Е.А. Построение дискретной двумерной математической модели транспорта наносов. Известия ЮФУ. Технические науки. 2011;8(121):32–44.

3. Сухинов А.И., Чистяков А.Е., Проценко Е.А., Сидорякина В.В., Проценко С.В. Параллельные алгоритмы решения задачи динамики изменения рельефа дна в прибрежных системах. Вычислительные методы и программирование. 2020;21(3):196–206. https://doi.org/10.26089/NumMet.v21r318

4. Сухинов А.И., Чистяков А.Е., Проценко Е.А., Сидорякина В.В., Проценко С.В. Комплекс объединенных моделей транспорта наносов и взвесей с учетом трехмерных гидродинамических процессов в прибрежной зоне. Математическое моделирование. 2020;32(2):3–23. https://doi.org/10.20948/mm-2020-02-01

5. Sukhinov A.I., Chistyakov A.E., Protsenko S.V., Sidoryakina V.V. Coupled 3D wave and 2D bottom deposit transportation models for the prediction of harmful phenomena in coastal zone. In: Trends in the Analysis and Design of Marine Structures — Proceedings of the 7th International Conference on Marine Structures, MARSTRUCT 2019. 2019. P. 597–603. https://doi.org/10.1201/9780429298875-68

6. Сухинов А.И., Сидорякина В.В. Построение и исследование корректности математической модели транспорта и осаждения взвесей с учетом изменений рельефа дна. Computational Mathematics and Information Technologies. 2018;2(2):76–90. https://doi.org/10.23947/2587-8999-2018-2-76-90

7. Sukhinov A.I., Sukhinov A.A., Sidoryakina V.V. Uniqueness of solving the problem of transport and sedimentation of multicomponent suspensions in coastal systems. In: Journal of Physics: Conference Series. Applied Mathematics, Computational Science and Mechanics: Current Problems. Bristol, 2020;1479:012081. https://doi.org/10.1088/1742-6596/1479/1/012081

8. Сухинов А.И., Сидорякина В.В Построение и исследование корректности математической модели транспорта и осаждения взвесей с учетом изменения рельефа дна. Вестник Донского государственного технического университета. 2018;18(4):350–361. https://doi.org/10.23947/1992-5980-2018-18-4-350-361

9. Сухинов А.И., Чистяков А.Е., Сидорякина В.В., Проценко С.В., Атаян А.М. Локально-двумерные схемы расщепления для параллельного решения трехмерной задачи транспорта взвешенного вещества. Математическая физика и компьютерное моделирование. 2021;24(2):38–53. https://doi.org/10.15688/mpcm.jvolsu.2021.2.4

10. Попов И.В. Построение разностной схемы повышенного порядка аппроксимации для нелинейного уравнения переноса с использованием адаптивной искусственной вязкости. Препринты Института прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН. 2017;68:1–22. https://doi.org/10.20948/prepr-2017-68

11. Сидорякина В.В., Сухинов А.И. Построение и исследование близости решений в L2 двух краевых задач для модели переноса многокомпонентных взвесей в прибрежных системах. Журнал вычислительной математики и математической физики. 2023;63(10):1721–1732. https://doi.org/10.1134/S0965542523100111

12. Литвинов В.Н., Чистяков А.Е., Никитина А.В., Атаян А.М., Кузнецова И.Ю. Математическое моделирование гидродинамических процессов Азовского моря на многопроцессорной вычислительной системе. Компьютерные исследования и моделирование. 2024;16(3):647–672. https://doi.org/10.20537/2076-7633-2024-16-3-647-672

13. Chistyakov A.E., Nikitina, A.V., Kuznetsova I.Yu., Rakhimbaeva E.O., Porksheyan M.V. Investigation of the approximation error of the difference scheme for the mathematical model of hydrodynamics. Lobachevskii Journal of Mathematics. 2023;44(5):1839–1846. (In Russ.) https://doi.org/10.1134/S1995080223050128

14. Сидорякина В.В., Проценко С.В. Применение различных типов аппроксимаций турбулентного обмена для анализа гидродинамического воздействия волн на дно водохранилища. Computational Mathematics and Information Technologies. 2021;5(2):80–87. https://doi.org/10.23947/2587-8999-2021-1-2-80-87

15. Сидорякина В.В. Построение разностных схем второго порядка точности для задач диффузии-конвекции мультифракционных взвесей в прибрежных морских системах. Computational Mathematics and Information Technologies. 2024;8(3):43–59. https://doi.org/10.23947/2587-8999-2024-8-3-43-59