Применение нейронных сетей для решения задачи об установившихся колебаниях

Введение. В последнее время быстро развивается область математики, специализирующаяся на применении искусственных нейронных сетей. В настоящей работе предложен новый метод построения нейронной сети для решения волновых дифференциальных уравнений. Этот метод особенно эффективен при решении краевых задач для областей сложной геометрической формы.

Материалы и методы. Предлагается метод построения нейронной сети, предназначенной для решения волнового уравнения для плоской области G, ограниченной произвольной замкнутой кривой. Предполагается, что граничные условия являются периодическими функциями времени t. Рассматривается установившийся режим. При построении нейронной сети в качестве активационных функций принимаются производные от сингулярных решений уравнения Гельмгольца. Сингулярные точки этих решений равномерно распределены по замкнутым кривым, охватывающим границу области. В качестве обучающего множества используется множество частных решений уравнения Гельмгольца.

Результаты исследования. Получены результаты решения первой краевой задачи для различных областей сложной геометрической формы и граничных условий. Результаты представлены в виде таблиц, содержащих точные решения задачи и решения, полученные с помощью нейронной сети. Дано графическое представление точного решения и решения, полученного построенной нейронной сетью.

Обсуждение. Представленные результаты расчетов показали эффективность предложенного метода построения нейронных сетей, решающих краевые задачи дифференциальных уравнений в частных производных для областей сложной геометрической формы.

Заключение. Дальнейшее развитие разработанного автором метода может быть применено к решению краевых задач для волнового уравнения, для решения внешних задач. Особенный интерес представляет применение этого метода к задачам дифракции.

1. Колмогоров А.Н. О представлении непрерывных функций нескольких переменных в виде суперпозиций непрерывных функций одного переменного и сложения. Доклады Академии наук СССР. 1957;114(5):953–956.

2. Варшавчик Е.А., Галяутдинова А.Р., Седова Ю.С., Тархов Д.А. Решение дифференциальных уравнений в частных производных для областей с постоянными границами. В: «Искусственный интеллект в решении актуальных социальных и экономических проблем ХХI века». Пермь: издательство Пермского государственного национального исследовательского университета; 2018. C. 294.

3. Тюрин К.А., Брагунец В.В., Светлов Д.Д. Решение дифференциального уравнения Лапласа с помощью модифицированной нейронной сети. Молодой ученый. 2019;27(265):10–12.

4. Епифанов А.А. Применение методов глубокого обучения для решения дифференциальных уравнений в частных производных. Успехи кибернетики. 2020;1(4):22–28. https://doi.org/10.51790/2712-9942-2020-1-4-3

5. Cai S., Wang Z., Wang S., Perdikaris P., Karniadakis G.E. Physics-informed neural networks for heat transfer problems. Journal of Heat Transfer. 2021;143(6):060801. https://doi.org/10.1115/1.4050542

6. Raissia M., Perdikaris P., Karniadakis G.E. Physics-informed neural net-works: A deep learning framework for solving forward and inverse problems in-volving nonlinear partial differential equations. Journal of Computational Physics. 2019;378:686–707.

7. Зрелова Д.П., Ульянов С.В. Модели физически информированных / осведомленных классических Лагранжевых / Гамильтоновых нейронных сетей в глубоком обучении. Современные информационные технологии и ИТ-образование. 2022;18(2):310–325. https://doi.org/10.25559/SITITO.18.202202.310-325

8. Kansa E.J. Motivation for using radial basis functions to solve PDEs. URL: http://uahtitan.uah.edu/kansaweb.html (дата обращения: 12.08.2025).

9. Kansa E.J. Multiquadrics – A scattered data approximation scheme with applications to computational fluiddynamics. II. Solutions to parabolic, hyperbolic and elliptic partial differential equations. Computers & Mathematics with Applications.1990;19(8–9):147–161. https://doi.org/10.1016/0898-1221(90)90271-K

10. Almajid M., Abu-Alsaud M. Prediction of porous media fluid flow using physics informed neural networks. Journal of Petroleum Science and Engineering. 2021;208:109205. https://doi.org/10.1016/j.petrol.2021.109205

11. Eivazi H.,Tahani M., Schlatter P., Vinuesa R. Physics-informed neural networks for solving Reynolds-averaged Navier-Stokes equations. Physics of Fluids. 2022;34:075117. https://doi.org/10.1063/5.0095270

12. Шевкун С.А., Самойлов Н.С. Применение нейросетевого подхода к решению прямых и обратных задач рассеяния. Вестник инженерной школы ДВФУ. 2021;2(47):66‒74. https://doi.org/10.24866/2227-6858/2021-2-7

13. Галабурдин А.В. Применение нейронных сетей для решения задачи Дирихле для областей сложной формы. Computational Mathematics and Information Technologies. 2024;8(2):68‒79. https://doi.org/10.23947/2587-8999-2024-8-2-68-79

14. Галабурдин А.В. Применение нейронных сетей для решения нелинейных краевых задач для областей сложной формы. Computational Mathematics and Information Technologies. 2024;8(4):35‒42. https://doi.org/10.23947/2587-8999-2024-8-4-35-42

15. Галабурдин А.В. Применение нейронных сетей при решении эллиптических уравнений для областей сложной формы. Computational Mathematics and Information Technologies. 2025;9(2):44‒51. https://doi.org/10.23947/2587-8999-2025-9-2-44-51