Применение сеточно-характеристического метода для численного решения динамических задач механики деформируемых твердых сред

Сеточно-характеристический метод – перспективный численный метод решения гиперболических систем уравнений, например, уравнений, описывающих упругие и акустические волны. Этот метод обладает высокой точностью и позволяет физически правильно моделировать волновые процессы в гетерогенных средах. Сеточно-характеристический метод позволяет корректно учитывать граничные условия, а также условия на поверхностях раздела сред с различными физическими характеристиками. Наиболее полно преимущества метода проявляются для одномерных уравнений, особенно в сочетании с фиксированной разностной сеткой, как в обычных сеточных методах. Однако, и в многомерном случае при использовании алгоритмов расщепления по пространственным переменным, удалось сохранить его положительные качества. Использование для гиперболических уравнений методов типа Рунге – Кутта, либо интегро-интерполяционного метода позволяет эффективно проводить обобщение методов, развитых для линейных уравнений, на нелинейный случай, в том числе, для обеспечения выполнения разностных аналогов законов сохранения, что важно при сквозном счете, например, разрывных решений. На основе разработанного автором варианта сеточно-характеристического метода был численно решен ряд важных задач сейсморазведки, сейсмостойкости, глобальной сейсмики на Земле и Марсе, медицинских приложений, неразрушающего контроля железнодорожных путей, моделирования процессов создания и характеристик композитных материалов для аэрокосмической отрасли и в других областях практического применения. Существенным преимуществом построенного метода является сохранение его устойчивости и точности при значительных деформациях среды. В данной статье представлены результаты численного решения на основе сеточно-характеристического метода задачи о моделировании упруго-пластической деформации при черепно-мозговых травмах.

1. Kukudzhanov, V.N. Chislennoe reshenie neodnomernykh zadach rasprostraneniya voln napryazheniy v tverdykh telakh. [Numerical solution of multidimensional problems of propagation of stress waves in solid bodies.] Soobshch. po prikl. matem., iss. 6, Moscow, VTS AN USSR, 1976 (in Russian).

2. Novatskiy, V. K.Volnovye zadachi teorii plastichnosti. [Wave problems of the theory of plasticity.] Moscow, Mir, 1978 (in Russian).

3. Magomedov, K.M., Kholodov, A.S. O postroenii raznostnykh skhem dlya uravneniy giperbolicheskogo tipa na osnove kharakteristicheskikh sootnosheniy. [On construction of difference schemes for equations of hyperbolic type on the basis of the characteristic ratios.] Zh. vychisl. matem. i matem. fiz., 1969, vol. 9, no. 2, pp. 373-386 (in Russian).

4. Kholodov, A.S. O postroenii raznostnykh skhem s polozhitel’noy approksimatsiey dlya uravneniy giperbolicheskogo tipa. [On construction of difference schemes with positive approximation for equations of hyperbolic type.] Zh. vychisl. matem. i matem. fiz., 1978, vol. 18, no. 6, pp. 1476-1492 (in Russian).

5. Kholodov, A.S. O postroenii raznostnykh skhem povyshennogo poryadka tochnosti dlya uravneniy giperbolicheskogo tipa. [On construction of difference schemes of increased order of accuracy for equations of hyperbolic type.] Zh. vychisl. matem. i matem. fiz., 1980, vol. 20, no. 6, pp. 1601-1620 (in Russian).

6. Tikhonov, A.I., Samarskiy, A.A. Ob odnorodnykh raznostnykh skhemakh. [On homogeneous difference schemes.] — Zh. vychisl. matem. i matem. fiz., 1961, vol. 1, no. 1, pp. 5-63 (in Russian).

7. Sedov, L.I. Mekhanika sploshnykh sred. [Continuum mechanics.] Moscow, Nauka, vol. I, II, 1973 (in Russian).

8. Rozhdestvensky, V.L., Yanenko, N. N. Sistemy kvazilineynykh uravneniy. [Systems of quasilinear equations.] Moscow, Nauka, 1978 (in Russian).

9. Chislennoe reshenie mnogomernykh zadach gazovoy dinamiki. [Numerical solution to multidimensional problems of gas dynamics.] Ed. Godunov, S.K., Moscow, Nauka, 1976 (in Rusian).

10. Redi, J. Deystvie moshchnogo lazernogo izlucheniya. [The action of powerful laser radiation.] Moscow, Mir, 1974 (in Russian).

11. Bullough, R., Gilman, I. 1. Elastic explosions in solid caused by radiation. J. Appl. Phys., 1966, vol. 37, no. 6, pp. 2283-2287.

12. Maynchen, D., Sak, S. Metod rascheta “Tenzor”. [Calculation method "Tensor".] Vychisl. metody v gidrodinamike, Moscow, Mir, 1967, pp. 185-211 (in Russian).

13. Favorskaya, A.V., Petrov, I.B. O volnovykh otklikakh ot neftesoderzhashchikh rezervuarov v shel’fovykh zone Arktiki. [On the wave responses from petroliferous resevoirs in the Arctic shelf zone.] DAN, 2016, vol. 466, no. 6, pp. 722-725 (in Russian).

14. Kvasov, I.E., Levyant, V.B., Petrov, I.B. Chislennoe issledovanie volnovykh protsessov v poristoy srede s ispol’zovaniem setochno-kharakteristicheskogo metoda. [Numerical study of wave processes in a porous medium using grid-characteristic method.] ZHVM i MF, 2016, vol. 56, no. 9, pp. 1645-1656 (in Russian).

15. Astanin, A.V., Dashkevich, A.D., Petrov, I.B., Petrov, M.N., Utyuzhnikov, S.V., Khokhlov N.I. Modelirovanie vliyaniya golovnoy udarnoy volny chelyabinskogo meteorite na poverkhnost’ Zemli. [Modeling of the influence of bow shock waves of the Chelyabinsk meteorite on the Earth's surface.] Matematicheskoe modelirovanie, 2016, vol. 28, no. 8, pp. 33-45 (in Russian).

16. Sannikov, A.V., Miryaha, V.A., Petrov, I.V. Chislennoe modelirovanie eksperimentov po issledovaniyu prochnostnykh kharakteristik l'da. [Numerical modeling experiments on the study of strength characteristics of ice.] Cb. Polyarnaya mekhanika. Materialy 3-ey mezhdunarodnoy nauchnoy konferentsii 27-30 sentyabrya 2016g. [Col. Polar mechanics. The materials of the 3rd international scientific conference 27-30 September 2016.] Vladivostok, pp. 141-150 (in Russian).

17. Petrov, I., Vasyukov, A., Ermakov, A., Favorskaya, A. Numerical modeling of non-destructive testing of composities. Science Processing Computer Science 96 (2016), pp. 930-938.

18. Vassilevski, Y.V., Beklemysheva, K.A., Grigoriev, G.K., Salametova, A.O., Vasyukov, A.V. Transcranial ultrasound of concept. Russian journal of Numerical Analysis and Mathematical Modeling, vol. 31, no. 5, pp. 239-328, 2016.

19. Levyant, V.B., Kvasov, I.E., Petrov, I.B. Otsenka vozmozhnosti obnaruzheniya kartirovaniya zon razvitiya mezotreshchin v plastakh pri ispol’zovanii obmennykh rasseyannykh voln. [Evaluation of the detection capability of the mapping areas for the development of mezocracks in layers using converted scattered waves.] Tekhnologii seysmorazvedki, 2016, no. 1, pp. 14-30 (in Russian).