Достаточные условия сходимости положительных решений линеаризованной двумерной задачи транспорта наносов

Введение. Транспорт наносов является одним из основных процессов, определяющих величины и темпы деформаций донных поверхностей водных объектов. Чаще всего прогностические исследования в этой области строятся на основе математических моделей, которые позволяют сократить, а в ряде случаев исключить дорогостоящие и опасные в экологическом отношении эксперименты. Для прогнозирования изменения рельефа дна в основном используются пространственно-одномерные модели. Для реальных прибрежных систем со сложной формой берега вектор потока наносов в общем случае не ортогонален касательной к береговой линии в каждой из ее точек. Также он может не совпадать с вектором ветровых напряжений. Поэтому для решения многих практически важных задач, связанных с прогнозированием динамики донной поверхности водоемов, необходимо применение пространственно-двумерных моделей транспорта наносов и эффективных численных методов их реализации.

Материалы и методы. Авторами (А. И. Сухинов, А. Е. Чистяков, Е. А. Проценко, В. В. Сидорякина) ранее была предложена пространственно-двумерная модель транспорта наносов, удовлетворяющая основным законам сохранения (материального баланса и импульса), которая представляет собой квазилинейное уравнение параболического типа. Были построены и исследованы линейные разностные схемы и решены модельные, а также практические задачи. Однако осталось в тени теоретическое исследование «близости» решений исходной нелинейной начально-краевой и линеаризованной непрерывной задач, на основе которой была построена дискретная модель (разностная схема). Особый интерес представляет исследование корректности линеаризованной задачи и определение достаточных условий положительности решений, т. к. только положительные решения задачи транспорта наносов имеют смысл в рамках рассматриваемых моделей.
Результаты. Исследуемая нелинейная двумерная модель транспорта наносов в прибрежной зоне мелководных водоемов учитывает следующие физически значимые факторы и параметры: пористость грунта; критическое значение касательного напряжения, при котором начинается перемещение наносов; турбулентный обмен; динамически изменяемая геометрия дна; ветровые течения и трение о дно. Линеаризация осуществляется на временной сетке — нелинейные коэффициенты параболического уравнения берутся с запаздыванием на один шаг временной сетки. Далее строится цепочка взаимосвязанных по начальным условиям — финальным решениям цепочки линеаризованных смешанных задач Коши на равномерной временной сетке, и таким образом осуществляется линеаризация в целом 2D нелинейной модели. Ранее авторами были доказаны существование и единственность решения цепочки линеаризованных задач, получена априорная оценка близости решения цепочки линеаризованных задач к решению исходной нелинейной задачи. В данной работе определены условия положительности ее решений и их сходимости к решению нелинейной задачи транспорта наносов в норме Гильбертова пространства L1 со скоростью O(τ), где τ — временной шаг.
Выводы. Полученные результаты исследования пространственно-двумерной нелинейной модели транспорта наносов могут быть использованы при прогнозировании нелинейных гидродинамических процессов, повышения их точности и надежности в силу наличия новых функциональных возможностей учета физически важных факторов, в том числе уточнения граничных условий.

1. Marchuk, G.I., Dymnikov, V.P., Zalesny, V.B. Matematicheskie modeli v geofizicheskoy gidrodinamike i chislennye metodyikh realizatsii. [Mathematical models in geophysical hydrodynamics and numerical methods for their implementation.] Leningrad: Gidrometeoizdat, 1987, 296 p. (in Russian).

2. Sukhinov, A.I., Chistyakov, A.E., Alekseenko, E.V. Numerical realization of the threedimensional model of hydrodynamics for shallow water basins on a high-performance system. Mathematical Models and Computer Simulations, 2011, vol. 3, iss. 5, pp. 562–574.

3. Leontyev, I.O. Pribrezhnaya dinamika: volny, techeniya potoki nanosov. [Coastal dynamics: waves, moving streams, deposits drifts.] Moscow: GEOS, 2001, 272 p. (in Russian).

4. Jorge Lorenzo-Trueba, Vaughan R. Voller, Tetsuji Muto, Wonsuck Kim, Chris Paola, John B. Swenson. A similarity solution for a dual moving boundary problem associated with a coastal-plain depositional system. Journal of Fluid Mechanics, 2009, v.628, pp.427-443.

5. J. Lorenzo-Trueba, V.R. Voller. Analytical and numerical solution of a generalized Stefan problem exhibiting two moving boundaries with application to ocean delta formation. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2010, v. 366, pp. 538–549.

6. Sukhinov A.I., Chistyakov A.E., Shishenya A.V., Timofeeva E.F. Mathematical model for calculating coastal wave processes. Mathematical Models and Computer Simulations. 2013, v. 5, iss. 2, pp. 122-129.

7. Xiaoying Liu, et al. Predictive modeling in sediment transportation across multiple spatial scales in the Jialing River Basin of China. International Journal of Sediment Research, 2015, vol. 30, iss. 3, pp. 250–255.

8. Sukhinov, A.I., Chistyakov, A.E., Protsenko, E.A. Mathematical modeling of sediment transport in the coastal zone of shallow reservoirs. Mathematical Models and Computer Simulations, 2014, vol. 6, iss. 4, pp. 351–363.

9. Sukhinov, A.I., Sidoryakina. Well-Posedness Analysis and Numerical Implementation of a Linearized Two-Dimensional Bottom Sediment Transport Problem. Computational Mathematics and Mathematical Physics, 2017, Vol. 57, No. 6, pp. 978–994.

10. Sukhinov, A.I., Chistyakov, A.E. Adaptive modified alternating triangular iterative method for solving grid equations with a non-self-adjoint operator. Mathematical Models and Computer Simulations, 2012, vol. 4, iss. 4, pp. 398–409.

11. Sukhinov, A.I., Chistyakov, A.E., Protsenko, E.A. Matematicheskoe modelirovanie transporta nanosov v pribrezhnykh vodnykh sistemakh na mnogoprotsessornoy vychislitel'noy sisteme. [Sediment transport mathematical modeling in a coastal zone using multiprocessor computing systems.] Numerical Methods and Programming, 2014, vol. 15, iss. 4, pp. 610–620 (in Russian).

12. Sukhinov, A.I., et al. Sravnenie vychislitel'nykh effektivnostey yavnoy i neyavnoy skhem dlya zadachi transporta nanosov v pribrezhnykh vodnykh sistemakh. [Comparison of computational efficiency of explicit and implicit schemes.] Numerical Methods and Programming, 2015, vol. 16, iss. 3, pp. 328–338 (in Russian).

13. Godunov, S.K. Uravneniya matematicheskoy fiziki. [Equations of mathematical physics.] 2nd revised and enlarged ed. Moscow: Nauka, 1979, 392 p. (in Russian).