Решение задач на собственные значения и собственные функции для уравнения Гельмгольца методом точечных источников поля
Аннотация
Разработан способ решения задач вычисления собственных значений и собственных функций для уравнения Гельмгольца в областях с произвольной конфигурацией. При разработке способа численного решения задач используется метод точечных источников поля (МТИ). Предлагаемый способ основан на анализе числа обусловленности системы МТИ или по-грешности численного решения задачи. Вводится понятие «критерий собственных значений». Результатом работы является разработанный эффективный способ — алгоритм реше-ния задач на нахождение собственных значений и собственных функций для уравнения Гельмгольца. Показано, что при приближении параметра Гельмгольца к собственному значению задачи число обусловленности системы МТИ и погрешность численного решения резко возрастают. Определив зависимость погрешности численного решения задачи или числа обусловленности системы МТИ от параметра Гельмгольца, можно по расположению максимума для полученных зависимостей найти собственные значения уравнения Гельмгольца в заданной области. После нахождения собственного значения можно приступить к нахождению собственных функций. При этом, если собственное значение оказывается вырожденным, то есть ему соответствует несколько собственных функций, то, с учетом симметрии области решения, возможно нахождение всех собственных функций. Приведены результаты решения тестовых двумерных и трехмерных задач, на основании которых делается вывод об эффективности предложенного метода.
Ключевые слова
метод точечных источников,
собственные значения,
собственные функ-ции,
уравнение Гельмгольца,
фундаментальное решение,
метод фундаментальных решений
При поддержке: Работа выполнена в рамках инициативной НИР
Об авторе
Елена Евгеньевна Щербакова
Донской государственный технический университет
(РФ, 344000, Ростов-на-Дону, пл. Гагарина, 1)
Россия
Россия
Щербакова Елена Евгеньевна, доцент каф. «Физическое и прикладное материаловедение» Донского государственного технического университета (РФ, 344000, Ростов-на-Дону, пл. Гагарина, 1), кандидат технических наук, доцент
Список литературы
1. Fairweather G. The method of fundamental solutions for elliptic boundary value problems / G. Fairweather, A. Karageorghis // Ad. Vol. Comput. Math. – 1998. – Vol. 9. – P. 69-95.
2. Alves C.J.S. A new method of fundamental solutions applied to nonhomogeneous elliptic problems / C.J.S. Alves, C.S. Chen // Advances in Computational Mathematics. – 2005. – Vol. 23 – P. 125-142.
3. Knyazev, S.Y. Ustoychivoct’ i skhodimost’ metoda tochechnykh istochnikov polya pri chislennom reshenii kraevykh zadach dlya uravneniya Laplasa. [Stability and convergence of the point sources method in the numerical solution of boundary value problems for the Laplace equa-tion.] Izv. vuzov. Electromechanics, 2010, no. 1, pp. 3-12 (in Russian).
4. Knyazev, S.Y., Shcherbakova, E.E., Engibaryan, A.A. Chislennoe reshenie kraevykh zadach dlya uravneniya Puassona metodom tochechnykh istochnikov polya. [Numerical solution of boundary value problems for the Poisson equation by the point sources method.] Vestnik of Don State Technical University, 2014, vol. 14, no. 2(77), pp. 15-20 (in Russian).
5. Knyazev, S.Y., Shcherbakova, E.E. Reshenie trekhmernykh kraevykh zadach dlya uravneniy Laplasa s pomoshchyu metoda diskretnykh istochnikov polya. [The decision of the three-dimensional boundary value problems for the Laplace equation using the method of discrete sources of the field.] Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Electromechanics, 2015, no. 5, pp. 25-30 (in Russian).
6. Bahvalov, Y.A., Knyazev S.Y., Shcherbakov, A.A., Shcherbakova, E.E. Pogreshnost’ metoda tochechnykh istochnikov pri modelirovanii potentsial’nykh poley v oblastyakh s razlichnoy konfiguratsiey. [Accuracy of the point sources method in the modeling of potential fields in areas with different configurations.] Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Electromechanics, 2012, no. 5, pp. 17-21 (in Russian).
7. Knyazev, S.Y., Shcherbakova, E.E., Zaichenko, A.N. Sravnitel’ny analiz dvykh variantov metoda kollokatsiy pri chislennom modelirovanii potentsial’nykh poley. [Comparative analysis of two variants of the collocation method for numerical modeling of potential fields.] Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Electromechanics, 2014, no. 1, pp. 17-19 (in Russian).
8. Knyazev, S.Y., Shcherbakova, E.E. Reshenie zadach teplo- i massoperenosa s pomoshch’yu metoda tochechnykh istochnikov polya. [The solution of problems of heat and mass transfer by the point sources method. Proceedings of the higher educational institutions.] North-Caucasian region. Series: Engineering, 2006, no. 4, pp. 43-47 (in Russian).
9. Knyazev, S.Y., Pustovoyt, V.N., Shcherbakova, E.E. Modelirovanie poley uprugikh de-formatsiy s primeneniem metoda tochechnykh istochnikov. [Modeling of elastic strain fields using the point sources method.] Vestnik of Don State Technical University, 2015, vol. 15, no. 1 (80), pp. 29- 38 (in Russian).
10. Knyazev, S.Y., Pustovoyt, V.N., Shcherbakova, E.E. Modelirovanie trekhmernykh poley uprugikh deformatsiy s pomoshch’yu metoda tochechnykh istochnikov. [Simulation of three-dimensional fields of elastic deformation by the point sources method.] Vestnik of Don State Tech-nical University, 2015, vol. 15, no. 4 (83), pp. 13- 23 (in Russian).
11. Knyazev, S.Y., Shcherbakova, E.E., Shcherbakov, A.A. Sravnitel’ny analiz razlichnykh variantov ispol’zovaniya metoda tochechnykh istochnikov polya pri modelirovanii temperaturnykh poley. [A comparative analysis for different variants of the point sources method in the temperature fields simulation.] Fiziko-matematicheskoe modelirovanie system: Materialy XII mezhdunar. seminara. [Physical and mathematical modeling of systems: Proceedings of XII Intern. workshop.] Vo-ronezh, Voronezh. state. tehn. university, 2014, pp. 52-56 (in Russian).
12. Lunin, L.S., Knyazev, S.Y., Seredin, B.M., Poluhin, A.S., Shcherbakova, E.E. Issledovanie stabil’nosti termomigratsii ansamblya lineynykh zon s pomoshch’yu trekhmernoy komp’yuternoy modeli, postroennoy na osnove metoda tochechnykh istochnikov polya. [Stability study of linear thermal migration zones ensemble using three-dimensional computer model, built on the basis of the point sources method. Vestnik Yuzhnogo nauchnogo tsentra, 2015, vol. 11, no. 4, pp. 9-15 (in Russian).
13. Knyazev, S.Y., Shcherbakova, E.E., Shcherbakov, A.A. Matematicheskoe modelirovanie poley uprugikh deformatsiy metodom tochechnykh istochnikov polya. [Mathematical modeling of elastic deformation fields by the point sources method. Mathematical methods in engineering and technology.] MMTT, 2015, no. 5 (75), pp. 21-23 (in Russian).
14. Knyazev, S.Y., Shcherbakova, E.E., Shcherbakov, A.A. Komp’yuternoe modelirovanie potentsial’nykh poley metodom tochechnykh istochnikov: monografiya. [Computer modeling of potential fields by the point sources method: a monograph.] Rostov-on-Don, Publishing Center DSTU, 2012, 156 p (in Russian).
15. Knyazev, S.Y. Metod tochechnykh istochnikov dlya komp’yuternogo modelirovaniya fizichrskikh poley v zadachakh s podvizhnymi granitsami: diss. …. doktora tekhn. nauk. [The point sources method for computer modeling of physical fields in problems with moving boundaries: dis-sertation ... doctor of technical sciences.] Novocherkassk, 2011, 342 p (in Russian).
16. Knyazev, S.Y., Shcherbakova, E.E. Chislennoe issledovanie stabil’nosti termomigratsii ploskikh zon. [Numerical study of thermal stability of the flat-band migration.] Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Electromechanics, 2007, no. 1, pp. 14-19 (in Russian).
17. Bahvalov, Y.A., Knyazev, S.Y., Shcherbakov, A.A. Matematicheskoe modelirovanie fizicheskikh poley metodom tochechnykh istochnikov. [Mathematical modeling of physical fields by the point sources method.] Izvestiya Rossiyskoy akademii nauk. Seriya fizicheskaya, 2008, vol. 72, no. 9, pp. 1259-1261 (in Russian).
18. Knyazev, S.Y. Chislennoe reshenie uravneniy Puassona i Gelmgoltsa s pomoshch’yu metoda tochechnykh istochnikov. [Numerical solution of Poisson and Helmholtz equations using the point sources method.] Izvestiya vuzov, Electromechanics, 2007, no. 2, pp. 77-78 (in Russian).
19. Knyazev, S.Y., Shcherbakova, E.E., Zaichenko, A.N. Chislennoe reshenie kraevykh zadach dlya neodnorodnykh uravneniy Gelmgoltsa metodom tochechnykh istochnikov polya. [Numerical solution for inhomogeneous Helmholtz equation by the point sources method.] Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Electromechanics, 2014, no. 4, pp. 14-19 (in Russian).
20. Knyazev, S.Y. Integral'noe uravnenie dlya chislennogo resheniya statsionarnykh kvantovo-mekhanicheskikh zadach. [Integral equation for the numerical solution of a stationary quantum mechanical tasks] Vestnik of Don State Technical University, 2016, vol. 16, no. 3 (86), pp. 79-86 (in Russian).
21. Knyazev S.Yu., Shcherbakova E.E. Method for numerical solution of the stationary Schrödinger equation. Russian Physics Journal, 2017, vol. 59, no 10, pp. 1616-1622.
22. Abramovitz, A., Stigan I. Spravochnik po spetsial’nym funktsiyam. [Special Function Manual.] Moscow, Science, 1979, 832 p. (in Russian)
23. Polyanin, A.D. Spravochnik po lineynym uravneniyam matematicheskoy fiziki. [Handbook of linear equations of mathematical physics.] Moscow, FIZMATLIT, 2001, 576 p. (in Russian).
Рецензия
Для цитирования:
Щербакова Е.Е. Решение задач на собственные значения и собственные функции для уравнения Гельмгольца методом точечных источников поля. Computational Mathematics and Information Technologies. 2017;1(1).
For citation:
Shcherbakova E.E. Solving the eigenvalues and eigenfunctions problems for the Helmholtz equation by the point-sources method. Computational Mathematics and Information Technologies. 2017;1(1).
Просмотров:
168
Послать статью по эл. почте 